BZOJ 4557 JLOI2016 侦查守卫 树形dp

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4557

题意概述：

　　给出一棵树，每个点付出代价w[i]可以控制距离和它不超过d的点，现在给出一些点，问控制这些点的最小代价是多少。

分析:

　　观察一下数据范围发现算算法的复杂度可能和d有关。横看竖看这像是一个树形dp，所以我们就把d搞到状态方程里面去嘛怎么就完全没有想到呢......

　　既然要用树形dp，就要先分析一下性质。

　　一个点如果被选择成为控制点，那么它可以控制的点有：子树中深度不超过d的点，祖先中和它距离不超过d的点，以及祖先的子树中的一些点。

　　感觉很麻烦的样子......因为对于那些祖先子树中的点控制的方向突然向上又向下了。

　　我们考虑到常用的技巧，在树形dp中，如果两个点会对答案产生贡献，我们在其LCA处统计贡献。于是我们设两个dp方程：

　　f(i,x)表示i点的子树中需要被控制的点全部被控制，还可以向上控制x层的最小代价；g(i,x)表示i点的子树中x层及以下需要被控制的点全部被控制的最小代价。

　　需要向上控制x层，那么儿子中就需要有点可以向上控制x +1层的点被选择，对于新来的子树j有两种情况，一个是我们需要的点在这个新的子树中，一个是我们需要的点在原来的子树中。

　　f(i,x)=min(f(i,x)+g(j,x),f(j,x+1)+g(i,x+1))

　　init：一开始把每点i当成孤点，那么向上控制1~d层就只有靠自己，f值初始化为w[i]；f[i][0],g[i][0]根据这个点本身是否需要监视来判断。

　　但是注意答案在控制的长度恰好为x的时候不一定是最优的，可能稍微控制的长度大一点答案反而更优，于是把方程的意义改一下，改成至少控制x层。

　　g(i,x)=sum{g(j,x-1)|i->j},g(i,0)=f(i,0)

　　小技巧：怎么维护至少这个性质？和看起来更劣的状态取min即可。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<set>
 #include<map>
 #include<vector>
 #include<cctype>
 #define inf 1e9
 using namespace std;
 const int maxn=;
 const int maxd=;

 int N,D,M,W[maxn];
 struct edge{ int to,next; }E[maxn<<];
 int first[maxn],np,f[maxn][maxd],g[maxn][maxd];
 bool ob[maxn];

 void _scanf(int &x)
 {
     x=;
     char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>'') ch=getchar();
     while(ch>=''&&ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
 }
 void add_edge(int u,int v)
 {
     E[++np]=(edge){v,first[u]};
     first[u]=np;
 }
 void data_in()
 {
     _scanf(N);_scanf(D);
     for(int i=;i<=N;i++) _scanf(W[i]);
     _scanf(M);
     int x,y;
     for(int i=;i<=M;i++){
         _scanf(x); ob[x]=;
     }
     for(int i=;i<N;i++){
         _scanf(x);_scanf(y);
         add_edge(x,y); add_edge(y,x);
     }
 }
 void DFS(int i,int fa)
 {
     for(int d=;d<=D;d++) f[i][d]=W[i];
     f[i][D+]=inf;
     if(ob[i]) f[i][]=g[i][]=W[i];
     for(int p=first[i];p;p=E[p].next){
         int j=E[p].to;
         if(j==fa) continue;
         DFS(j,i);
         for(int d=;d<=D;d++)
             f[i][d]=min(f[i][d]+g[j][d],f[j][d+]+g[i][d+]);
         for(int d=D;d>=;d--) f[i][d]=min(f[i][d],f[i][d+]);
         g[i][]=f[i][];
         for(int d=;d<=D;d++) g[i][d]+=g[j][d-];
         for(int d=;d<=D;d++) g[i][d]=min(g[i][d],g[i][d-]);
     }
 }
 void work()
 {
     DFS(,);
     printf("%d\n",f[][]);
 }
 int main()
 {
     data_in();
     work();
     return ;
 }