【二分】【P1314】【NOIP2011D2T2】聪明的质监员

Description

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 $n$ 个矿石，从 $1$ 到 $n$ 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 $w_i$ 以及价值 $v_i$ 。检验矿产的流程是：

1 、给定 $m$ 个区间 $[L_i,R_i]$ ；

2 、选出一个参数 $ W$ ；

3 、对于一个区间 $[L_i,R_i]$ ，计算矿石在这个区间上的检验值 $Y_i$ ：

$Y_i=\sum_{j}1 \times \sum_{j}v_{j}$，其中$j~\in~ [L_i,R_i]$且$w_j>W$，$j$是矿石编号。

这批矿产的检验结果 $Y$ 为各个区间的检验值之和。即： $Y_1+Y_2...+Y_m$

若这批矿产的检验结果与所给标准值 $S$ 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数W 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 $S$ ，即使得 $S-Y$ 的绝对值最小。请你帮忙求出这个最小值。

Input

第一行包含三个整数 $n,m,S$ ，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的 $n$ 行，每行 $2$ 个整数，中间用空格隔开，第 $i+1$ 行表示 $i$ 号矿石的重量 $w_i$ 和价值 $v_i$ 。

接下来的 $m$ 行，表示区间，每行 $2$ 个整数，中间用空格隔开，第 $i+n+1$ 行表示区间 $[L_i,R_i]$ 的两个端点 $L_i$ 和 $R_i$ 。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

Output

一个整数，表示所求的最小值。

Sample Input

Sample Output

Hint

对于$100\%$的数据，有$ 1 ≤n ,m≤200,000,0 < w_i,v_i≤10^6,0 < S≤10^12,1 ≤L_i ≤R_i ≤n$ 。

Solution

先来化简一下这个毒瘤表达式什么意思：

$Y_i=\sum_{j}1 \times \sum_{j}v_{j}$，其中$j~\in~ [L_i,R_i]$且$w_j>W$。

对于乘号前面，有几个$j$就会增加几个$1$，所以 $\sum_{j}1$ 事实上就等于$j$。乘号后面显然是合法的$v$的和。

所以这个表达式的含义就是满足$j~\in~ [L_i,R_i]$且$w_j>W$的矿石数量乘上他们的权值和。

当时出题的真是闲的整这么个毒瘤表达式

那么题意就很清楚了。显然可以发现的一点是在参数$W$增加的时候求出来的$Y$是单调不减的。根据这个性质，我们可以二分W的值。

接着考虑二分的check怎么写。暴力计算整个结构显然最坏会达到$O(n^2)$，不可做。一开始想着预处理线段树，发现貌似不可做。考虑前缀和。这样花费$O(n)$预处理，$O(1)$查询每个区间。

整个算法复杂度$O(nlogn)$，可以通过本题。

Code

#include<cstdio>

#define rg register

#define ci const int

#define cl const long long int

typedef long long int ll;

namespace IO {

	char buf[50];

}

template<typename T>

inline void qr(T &x) {

	char ch=getchar(),lst=' ';

	while(ch>'9'||ch<'0') lst=ch,ch=getchar();

	while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();

	if (lst=='-') x=-x;

}

template<typename T>

inline void write(T x,const char aft,const bool pt) {

	if(x<0) {putchar('-');x=-x;}

	int top=0;

	do {

		IO::buf[++top]=x%10+'0';

		x/=10;

	} while(x);

	while(top) putchar(IO::buf[top--]);

	if(pt) putchar(aft);

}

template <typename T>

inline T mmax(const T &a,const T &b) {if(a>b) return a;return b;}

template <typename T>

inline T mmin(const T &a,const T &b) {if(a<b) return a;return b;}

template <typename T>

inline T mabs(const T &a) {if(a<0) return -a;return a;}

template <typename T>

inline void mswap(T &a,T &b) {T temp=a;a=b;b=temp;}

const ll maxn = 200010;

const ll INF = 1ll<<60;

struct M {

	ll w,v;

};

M MU[maxn];

struct R {

	ll l,r;

};

R RU[maxn];

ll n,m,s,ans=INF;

ll sum[maxn],cnt[maxn];

int main() {

	qr(n);qr(m);qr(s);

	for(rg int i=1;i<=n;++i) {qr(MU[i].w);qr(MU[i].v);}

	for(rg int i=1;i<=m;++i) {qr(RU[i].l);qr(RU[i].r);}

	rg ll l=0,r=1e6,mid;

	while(l<=r) {

		ll _ans=0;

		mid=(l+r)>>1;

		for(rg int i=1;i<=n;++i) {

			sum[i]=sum[i-1];cnt[i]=cnt[i-1];

			if(MU[i].w>mid) sum[i]+=MU[i].v,++cnt[i];

		}

		for(rg int i=1;i<=m;++i) {

			_ans+=(sum[RU[i].r]-sum[RU[i].l-1])*(cnt[RU[i].r]-cnt[RU[i].l-1]);

		}

		ans=mmin(ans,mabs(_ans-s));

		if(_ans<s) r=mid-1;else l=mid+1;

	}

	write(ans,'\n',true);

}