【xsy1596】旅行 期望+状压DP

题目大意：有$m$个人要从城市$1$开始，依次游览城市$1$到$n$。

每一天，每一个游客有$p_i$的概率去下一个城市，和$1-p_i$的概率结束游览。

当游客到达城市$j$，他会得到$(1+\frac{C_j}{C_{j-1}})H_{i,j}$的收益，其中$C_i$表示到访第$i$个城市的人数。

问所有人的期望收益。

数据范围:$n,m≤16$

我们考虑状压$DP$

设$f[i][S]$表示到达城市i的人群为$S$的概率。

设$ans[i][S]$表示到达城市i的人群为$S$时，所有人在前$i$座城市的收益和。

不难推出:

$f[i][S]=\sum\limits_{S∈P} f[i-1][P]\times chg(P,S)$

$ans[i][S]=\sum\limits_{S∈P} \big(ans[i-1][P]+f[i-1][P]\times sum[i][S]\times (1+\frac{|S|}{|P|})\big)\times chg(P,S)$

其中，$chg(P,S)$表示前一次游览的人群为$P$,下一次剩下$S$的概率。简单乘一下就行了。

这么转移的复杂度是$O(n\times 3^m)$的，然而他T了。。。。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M 16
 #define get orzmyh
 using namespace std;

 int m,n,all=;

 double p[M+]={},h[M+][M+]={},mulp[<<M]={},fmulp[<<M]={};
 double f[M+][<<M]={},ans[M+][<<M]={},mo[<<M]={},sum[M+][<<M]={};

 double Get(int P,int S){
     return mulp[P&S]*fmulp[P^S];
 }
 double Sum(int day,int S){
     double res=;
     for(int i=;i<m;i++) if((<<i)&S){
         res+=h[i][day];
     }
     return res;
 }

 int main(){
     scanf("%d%d",&m,&n); all=(<<m);
     for(int i=;i<all;i++) mo[i]=mo[i>>]+(i&);
     for(int i=;i<m;i++) scanf("%lf",p+i);

     for(int i=;i<all;i++){
         double mul1=,mul2=;
         for(int j=;j<m;j++)
         if(i&(<<j)){
             mul1=mul1*p[j];
             mul2=mul2*(-p[j]);
         }
         mulp[i]=mul1;
         fmulp[i]=mul2;
     }

     for(int i=;i<m;i++)
     for(int j=;j<=n;j++)
     scanf("%lf",&h[i][j]);

     for(int i=;i<=n;i++){
         for(int S=;S<all;S++)
         sum[i][S]=Sum(i,S);
     }
     f[][all-]=; ans[][all-]=sum[][all-];
     for(int i=;i<=n;i++){
         for(int P=;P<all;P++)
         for(int S=P;~S;S=P&(S-)){
             double val=Get(S,P);
             f[i][S]+=f[i-][P]*val;
             ans[i][S]+=(ans[i-][P]+(mo[P]?sum[i][S]*(+mo[S]/mo[P])*f[i-][P]:))*val;
             if(S==) break;
         }
     }
     double Ans=;
     for(int S=;S<all;S++)
     Ans+=ans[n][S];
     printf("%.10lf\n",Ans);
 }

于是我后来写了一个$O(nm\times 2^m)$的，代码如下：

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M 17
 using namespace std;

 double f[M][M]={},h[M][M]={},p[M]={};
 int n,m;

 int main(){
     scanf("%d%d",&m,&n);
     for(int i=;i<=m;i++) scanf("%lf",p+i);
     for(int i=;i<=m;i++){
         f[i][]=;
         for(int j=;j<=n;j++)
         f[i][j]=f[i][j-]*p[i];
     }
     double ans=;
     for(int i=;i<=m;i++){
         for(int j=;j<=n;j++){
             scanf("%lf",&h[i][j]);
             ans+=f[i][j]*h[i][j];
         }
     }
     for(int i=;i<n;i++){
         for(int s=;s<(<<m);s++){
             double ps=,sum=,pn=; int cnt=;
             for(int j=;j<=m;j++) if(s&(<<(j-))){
                 ps*=f[j][i];
                 cnt++;
                 pn+=p[j];
             }else ps*=-f[j][i];

             for(int j=;j<=m;j++) if(s&(<<(j-)))
             sum+=p[j]*h[j][i+]*(pn-p[j]+);
             ans+=ps*sum/cnt;
         }
     }
     printf("%.10lf\n",ans);
 }