MT【212】合作共赢

一次会议有1990位数学家参加，每人至少有过1327位合作者，求证:可以找到4位数学家，他们中每一个都合作过.

解答:记与$v_i$合作过的数学家构成集合$A_i(i=1,2,\cdots,1990)$;

不妨$v_1,v_2$合作过，
$\because |A_i|\ge1327,\therefore |A_1|\cap |A_2|=|A_1|+|A_2|-|A_1\cup |A_2|\ge 1327*2-1990>0 $
故存在$ v_3\in A_1\cap A_2$,
又$|A_1\cap A_2 \cap A_3|=$

$|A_1\cup A_2\cup A_3|+|A_1|+|A_2|+|A_3|-|A_1\cup A_2|-|A_2\cup A_3|-|A_3\cup A_1|\ge1327*3-1990*2=1$
故存在$ v_4\in A_1\cap A_2\cap A_3$即$v_1,v_2,v_3,v_4$互相合作过.