NOI2013 矩阵游戏 【数论】

题目描述

婷婷是个喜欢矩阵的小朋友,有一天她想用电脑生成一个巨大的n行m列的矩阵(你不用担心她如何存储)。她生成的这个矩阵满足一个神奇的性质：若用F[i][j]来表示矩阵中第i行第j列的元素，则F[i][j]满足下面的递推式:

F[1][1]=1

F[i,j]=a*F[i][j-1]+b (j!=1)

F[i,1]=c*F[i-1][m]+d (i!=1)

递推式中a,b,c,d都是给定的常数。

现在婷婷想知道F[n][m]的值是多少,请你帮助她。由于最终结果可能很大，你只需要输出F[n][m]除以1,000,000,007的余数。

输入输出格式

输入格式：

输入文件matrix.in包含一行有六个整数n,m,a,b,c,d。意义如题所述。

输出格式：

输出文件matrix.out包含一个整数，表示F[n][m]除以1,000,000,007的余数。

输入输出样例

输入样例#1：

3 4 1 3 2 6

输出样例#1：

85

说明

【样例1说明】

样例中的矩阵为：

1 4 7 10

26 29 32 35

76 79 82 85

数据范围

题解

我们从f[n][m]往前推导，最终可以推出：

令

x = a^(m - 1) * c

y = a^(m - 1) * d

p = b * (a^(m - 1) - 1) / (a - 1)

q = (x^(n - 1) - 1) / (x - 1)

则结果为

ans = x^(n - 1) * (a^(m - 1) + p) + (y + p) * q;

由于指数非常大，我们运用费马小定理a^(p - 1) ≡ 1 (mod p)

a^(m - 1) ≡ a^((m - 1) mod (p - 1)) (mod p)

还有p,q的实质与等比数列有关，若公比为1，要特判一下

然后就A了~~

通过这题加深了对费马小定理的理解

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
using namespace std;
const int maxn = 100005,maxm = 100005,INF = 2000000000;
const LL P = 1000000007;

void getread(LL& out,LL& out2){
	char c = getchar();
	out = out2 = 0;
	LL mod = P - 1;
	while (c < 48 || c > 57) c = getchar();
	while (c >= 48 && c <= 57){
		out = out * 10 + c - '0';
		out2 = out2 * 10 + c - '0';
		out %= mod;
		out2 %= P;
		c = getchar();
	}
	out = (out - 1 + mod) % mod;
	out2 = (out2 - 1 + P) % P;
}

inline LL qpow(LL a,LL b){
	int ans = 1;
	for (; b; b >>= 1,a = a * a %P)
		if (b & 1)
			ans = ans * a % P;
	return ans;
}

int main(){
	LL n_1,m_1,n,m,a,b,c,d,p,q,x,y;
	getread(n_1,n);
	getread(m_1,m);
	cin>>a>>b>>c>>d;
	LL am_1 = qpow(a,m_1);
	if (a == 1) p = b * m % P;
	else p = b * (am_1 - 1) % P * qpow(a - 1,P - 2) % P;
	x = am_1 * c % P;
	y = am_1 * d % P;
	if (x == 1) q = n;
	else q = (qpow(x,n_1) - 1 + P) % P * qpow(x - 1,P - 2) % P;
	LL ans = ((qpow(x,n_1) * ((am_1 + p) % P) % P + (y + p) % P * q % P) % P + P) % P;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}