编辑距离及其动态规划算法（Java代码）

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编辑距离概念描述

编辑距离，又称Levenshtein距离，是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。一般情况下编辑操作包括：

1. 将一个字符替换成另一个字符；
2. 插入一个字符；
3. 删除一个字符；

例如，将单词kitten转成单词sitting需要如下三个步骤：

1. sitten （k→s）
2. sittin （e→i）
3. sitting （→g）

俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。

编辑距离的应用在信息检索、拼写纠错、机器翻译、命名实体抽取、同义词寻找等问题中有较多的应用

问题定义

求出任意两个字符串的编辑距离，即把一个字符串s1最少经过多少步操作变成编程字符串s2。其中操作有三种，添加一个字符，删除一个字符，修改一个字符

问题解析

首先定义这样一个函数——edit(i, j)，它表示第一个字符串的长度为i的子串A到第二个字符串的长度为j的子串B的编辑距离。

可以利用如下动态规划公式来解析问题：

1. 若 i = 0 且 j = 0，那么 edit(i, j) = 0
2. 若 i = 0 且 j > 0，那么 edit(i, j) = j
3. 若 i > 0 且 j = 0，那么 edit(i, j) = i
4. 若 i ≥ 1 且 j ≥ 1，那么 edit(i, j) = min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) }

其中，当第一个字符串的第i个字符不等于第二个字符串的第j个字符时，f(i, j) = 1；否则，f(i, j) = 0。

第1,2,3个公式理解起来都比较容易，第4个公式其实列出了字符串i向字符串j转变的三种方式（自左向右依次为在字符串A的末尾删除一个字符，在字符串A的末尾添加一个与字符串B的末尾相同的字符，将字符串A末尾的字符替换为字符串B末尾的字符），然后分别计算其编辑距离，最后取其中的最小值。

Java代码

由上述动态规划公式，可以编写编辑距离的Java代码如下：

public int minDistance(String word1, String word2) {
        //若两个字符串都为空时，编辑距离为0
        if((word1==null||word1.length()==0)&&(word2==null||word2.length()==0)){
            return 0;
        }
        //若其中一个字符串为空时，编辑距离为另一个字符串的长度
        if(word1==null||word1.length()==0){
            return word2.length();
        }
        if(word2==null||word2.length()==0){
            return word1.length();
        }

       //建立二维数组来保存所有的edit(i,j)
        int[][] edit_distance = new int[word1.length()+1][word2.length()+1];

        for(int i=0;i<word1.length()+1;i++){
            edit_distance[i][0] = i;
        }
        for(int j=0;j<word2.length()+1;j++){
            edit_distance[0][j] = j;
        }

        //套入动态规划公式
        for(int i=1;i<word1.length()+1;i++){
            for(int j=1;j<word2.length()+1;j++){
                int d1 = edit_distance[i-1][j]+1;
                int d2 = edit_distance[i][j-1]+1;
                int d3 = edit_distance[i-1][j-1]+
　　　　　　　　　　　　　　(word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)?0:1);
                edit_distance[i][j] = Math.min(d1,Math.min(d2,d3));
            }
        }

        return edit_distance[word1.length()][word2.length()];
 }

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