理论的动态发展完完备与进化：数论Number Theory数域的进化史 与 Infinite Precision无限精度+Infinite Approximation无穷近似

Infinite Precision:

https://blogs.ubc.ca/infiniteseriesmodule/units/unit-1/infinite-series/converting-an-infinite-decimal-expansion-to-a-rational-number/

(0)数是什么？以有限的数元，度量与表示无限的现象、事物与状态，作为整个数学科学理论的根基。

以Binary二进制为例, 有{0,1}, Constant/Dynamic系统建模上，两种state(状态)？0->1与1->0代表“change变化”？

而Decimal十进制，有{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}十种数元，

运算符号上，运算及其逆运算 总是成对的，并且需要设定运算符号的“单位元”，

例如Decimal十进制上， 0 是 +加法的单位元, 1是乘法的单位元。

+加法运算符号，源于生活的计数Couting 需求，

乘法运算符号，始于分配财产例如“土地面积”计量;

-减法运算符号，始于对 +加法运算的 逆运算需求；

/除法运算符号，始于对 乘法运算的 逆运算需求。

(1) 1=0.999....无限近似 Infinite Approximation 的思想。

(2) 1.0与0.9 之间可以无穷划分:无限精度 Infinite Precision思想.

对于两个任意小的不同的数之间，可以无穷划分:无限精度Infinite Precision.

形象表达：任意短的线段都可以无限分割(无限精度)，“无限分割”有许多种, bisect:最常用之一.

例 0.(N个零)100... 与 0.(N个零)09... , N是任意的常数。

理论上有保障的“无限精度”，实际上根据需要取的满足任何条件精度. 理论到实际，Quanlitative/Quantitative有 Epsilon-Delta language, 并且以“极限”实现Infinite Approximation:

lim x→c⁡ f⁢(x) = L数学语言:∀ ϵ>0, ∃ δ>0 S.T. for all x≠c, if |x-c|<δ, then |f⁢(x)-L|<ϵ

常用记号: “∃ ”:“存在”或“可以找到”，“∀ ”: “对于任意的”或“对于每一个”, maxS:数集S极大值, minS:数集S极小值, supS:上确界(上界最小值), infS下确界(下界最大值)

确界存在定理——实数系连续性定理:

(3) irrational number无理数: 无限不循环小数例如PI, e自然数, 与2的开方运算结果.

实际上是运算符号(+, -, *, /, 开方, 对数)作用于数产生的非封闭数。 例如:

N(+, *)自然数集合(+) 对 -减法(+的逆运算)不封闭, 为建立对+加法及其逆运算(-减法)封闭的数域Field, 而扩充了新数元(负数)，形成Z(+, -, )整数集合.

为使Z(+, -, )整数集合对 乘法及其逆运算(/除法)都完全封闭, 历史上经历过两个阶段(Q有理数集合与R实数集合):

Q阶段: 扩充数元(p/q, 分数或小数), 建立Q(+, -, , /)有理数集(对乘法的逆运算部分封闭性, 即Q有稠密性但并不完备, 例如, 表达无理数: 求解 xx=2, 以及割圆术无穷近似得到圆周率 PI的题目);

为使Z(+, -, )对 乘法及其逆运算都完全封闭, 不仅要引入其逆运算/(除法), 而且必须要扩充新数元: Irrational Number无理数(即求解 xx=2的x值, 以及割圆术的PI)，建立了 R(+,-,,/)实数集合, 至此，得到对四则运算完全封闭的数域R(+,-,,/)集合，对 +加法及其逆运算，特别是对 乘法的逆运算实现完全封闭性的数域.

自此，Mathmatical Analysis(Calculus:Integral+Differential) 的理论建立在有完备性可靠的实数集R(+,-,,/)之上。理论上的完备性保障无穷精度。

(4) 数制上，Decimal十进制之外，常用的有Binary二进制, Octal八进制，Hexadecimal十六进制, 32进制，64进制..., 而Binary二进制是最精简的，只有0与1两个数元, 而且实现负数的表示及(+,-,,/)的四则运算，更基于 Binary之上形成的 Boolean Algebra布尔代数逻辑, 将理论上的数元及运算，以模拟及数字电子电路实现。