PCA(Principal Components Analysis)主成分分析: 坐标基 + 基变换 + 一维列向量坐标的变换: 左乘变换矩阵 而 一维行向量的坐标系基元的变换 是 右乘变换矩阵

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总结：

• 坐标与坐标系(基向量组=变换矩阵)是成对出现。同一点在不同坐标系的坐标的变换，要有统一的“世界坐标系”
• 坐标(一维列向量)变换: 左乘 变换矩阵；只是改变“视角”，都是同一点在不同坐标系去描述
• 基元(一维行向量)变换: 右乘 变换矩阵；基元(坐标系)发生改变, 是将一坐标系转为新坐标系

类比：

• 长度的数值与单位是成对出现，
• 同一物体的长度L，需要有统一的metrics公米制才可以进行换算:
  
  Feet(US), Inch(UK), Miles, nautical(sea) Miles, Yards, Light-Year；
• 长度变换：物体的长度始终是 1m， 在不同制的尺测量值有:
  
  1m = 3.2808333Feet(US) = 39.370079Inch(UK)
  
  = 0.00062Miles = 0.00054Naut.Miles = 1.094Yards.
• 测度制变换：Inch制测度尺 变换到 Metrics制测度尺。

测度高维空间的点的位置需要：

• 建立坐标系：首先建立坐标系，选择哪些维度，每个维度的参考点；
• 其次将点位置投射到此坐标系的每一维度，得到对应维度上的测度；
• 正式表示：表示坐标系的坐标基矩阵乘上点坐标(该坐标系上的)。

数学表示: 坐标系的坐标基矩阵乘上点坐标(该坐标系上的)：

️注意：以下表达式的小写字母：头上有 “\(\large \rightarrow\)”的是\(\large vector\)；没有的是\(\large Scalar\)；

在描述空间的某个点时可以将其描述为：

坐标系的坐标基矩阵乘上点坐标(该坐标系上的).

• 此空间坐标系A的坐标基矩阵(本文坐标系的基向量都为标准正交基):
  
  
• 此空间的p点在坐标系A的点坐标:
  
  

也可以将其看成世界坐标系的点坐标(世界坐标系以单位阵为坐标系坐标基矩阵):

引入世界坐标系的必要性: 是因为它将在后续的 坐标变换 及 坐标系变换，充当转换站的Role。



上式的单位阵为:

坐标变换与坐标系变换

实际应用经常会遇到多个坐标系以及其对应的坐标的情况，比如：

坐标系A及其对应的坐标和 坐标系B及其坐标。

我们假设它们之间存在, 也就是空间的同一个点用不同坐标系下的坐标来描述。因此有：



上式的基向量代表它是坐标系A的基向量，同时实际上也等于世界坐标系乘以世界坐标的形式即。

坐标系A实际上是对世界坐标系进行A对应的初等列变换后得到的。

坐标系A的每个列向量，事实上都是对世界坐标系的三个基向量进行线性加和后得到的。

• 将 坐标系A上的坐标a 与 坐标系B上的坐标b 转化为 世界坐标系上的坐标p ：
  
  

• 世界坐标系到坐标系A或B的转化过程则是：
  
  

坐标变换

1. 坐标变换定义：把一个向量(或一个点)从一个高维(或3D)坐标系，转换到另一个高维(或3D)坐标系去。
   
   通过将旧坐标A0， 左乘一个变换矩阵 T， 就可以实现。

2. 注意：坐标变换 是 左乘(变换矩阵T 是 乘在左边)的。 变换: T * A0 = A1, 此处 旧坐标A0，新坐标A1 都是一维列向量；

3. 坐标变换矩阵 T 乘在左边 是因为坐标多是用一维列向量表示，因此过渡矩阵A只能被乘到左边。

4. 坐标系基元(基元为一维行向量)的变换 是 右乘 变换矩阵，举个栗子就可以分清：
   
   已知坐标系基元为 (i, j, k)，基元为一维行向量表示, 因而基元的变换只能是右乘.
   
   举个栗子：A1.shape(1,3)= A0.shape(1, 3) * T.shape(3,3)。