npcapc_2024_d Two Box/【PR #15】黑白球染色

npcapc_2024_d Two Box/【PR #15】黑白球染色

题意

有 \(m\) 个球，一开始全部是白色。

有 \(n\) 次操作，每次操作可以把某个球的颜色反转。

有一个长度为 \(n\) 的要求序列 \(a_i\)，\(a_i\) 表示第 \(i\) 次操作后编号 \(>a_i\) 的球必须是白色。

有 \(q\) 次修改，每次修改一个 \(a_i\)，你要输出修改后有多少种操作序列满足要求序列。

\(n,q \le 3 \times 10^4, m \le 15\)。

原题题解翻译

D - 两个盒子 题解

• 部分分1 （\(N \leq 2000\)，\(M \leq 10\)，\(Q = 1\)）

可以通过使用状态为 \(dp[i][j]\) 的二进制动态规划（bit DP）来解决这个问题，其中 \(dp[i][j]\) 表示进行 \(i\) 次操作后，黑盒子中球的状态为 \(j\)。时间复杂度为 \(\mathrm{O}(N2^MMQ)\)。

• 部分分2 （\(Q = 1\)）

按照球 \(M,M - 1,\cdots,1\) 的顺序来确定它们的行为。对于球 \(k\) 而言，在大多数情况下，球 \(k\) 在其能存在于黑盒中的最大区间 \([l,r]\) 内被选择的次数为偶数次。这里所说的“大多数情况”是指，如果该区间在第 \(N\) 次操作后仍然包含在内，那么即使球 \(k\) 被选择奇数次也没问题。

在此，针对每个最大区间 \([l,r]\) 记录剩余操作次数，然后进行动态规划。状态转移方面，首先计算在 \([l,r]\) 中确定球 \(k + 1,k + 2,\cdots,M\) 的行为后剩余的操作次数。然后，如果该区间不包含整个区间的右端点，就进行使用偶数个球的状态转移。也就是说，对于数列 \(f_0,f_1,\cdots,f_d\)，只需计算数列 \(g_i = \sum_{j \leq i,j = i \bmod 2} f_j \binom{j}{i}\) 即可。这可以利用卷积在 \(\mathrm{O}(d\log d)\) 的时间复杂度内计算出来。

请参考以下图表，这是 \(N = 6\)，\(M = 3\)，\(A = (1,3,2,2,3,1)\) 时的情况。例如，从下往上数第 \(3\) 层，考虑球 \(3\) 能存在于黑盒中的最大区间 \([2,3]\) 。由于对球 \(3\) 选择使用或不使用时，剩余操作次数分别为 \(0\) 和 \(2\)，所以对应的多项式为 \(x^2 + 1\) 。

从下往上数第 \(2\) 层，考虑球 \(2\) 能存在于黑盒中的最大区间 \([2,6]\) 。在 \([2,6]\) 中确定球 \(3\) 的行为后，剩余操作次数的生成函数为 \((x^2+1) x (x^2 + 1) = x^5 + 2x^3 + x\) 。从这里进行使用偶数个球的状态转移后，结果为 \(x^5 + 12x^3 + 12x\) 。

需要注意的是，从下往上数第 \(1\) 层的最大区间 \([1,7]\) 包含右端点，所以操作次数为奇数也可以。

通过实现上述方法，可以在 \(\mathrm{O}(Q N M \log N \log \left(\frac{N}{M} \right))\) 的时间复杂度内解决该问题。

• 满分做法

考虑使用偶数个球的状态转移。对于生成函数 \(f(x)\) ，当考虑使用任意个球的情况时，令 \(g(x) = f(x + 1)\) 即可。要实现从这里进行使用偶数个球的状态转移，则令 \(g(x) = \frac{f(x + 1)+f(x - 1)}{2}\) 。不过，这样做时间复杂度并不会改变。

答案是最底层状态转移后的生成函数 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处的值，即 \(f(1)\) 。因此，对于从下往上数第 \(k\) 层的生成函数，仅需记录 \(f(2 - k),f(3 - k),\cdots,f(k)\) 的值就可以进行状态转移。这样就能将一个区间所包含的信息量控制在 \(\mathrm{O}(M)\) 个。

考虑处理查询操作。由于第 \(k\) 层的区间依赖于第 \(k + 1\) 层的区间，所以在更新时需要从上层的区间开始更新。此时，通过合理处理最大区间，查询操作可以归结为对 \(\mathrm{O}(M)\) 个区间的删除和添加操作。首先，作为预处理，对于满足 \(1 \leq k \leq M\) 、\(2 - k \leq l \leq k\) 的 \((k,v)\) ，维护一棵线段树来管理从下往上数第 \(k\) 层区间对应的 \(f(v)\)（运算定义为乘法）。

考虑添加操作。当添加第 \(k\) 层的区间 \([l,r]\) 时，先求出第 \(k + 1\) 层线段树中所有 \([l,r]\) 的值，利用 \(g(x) = \frac{f(x + 1)+f(x - 1)}{2}\) 进行状态转移，然后更新第 \(k\) 层的线段树即可。对于删除操作，直接删除第 \(k\) 层线段树中的 \(f(v)\) 就行。因此，每个查询可以在 \(\mathrm{O}(M^2 \log N)\) 的时间复杂度内处理完毕。

通过上述方法，可以在 \(\mathrm{O}((N + Q)M^2 \log N)\) 的时间复杂度内解决这个问题。