题目大意:

  设$S(n,m)$为第二类斯特林数,$F_i$表示斐波那契数列第$i$项。

  给定$n,R,K$,求$\sum\limits_{i=1}^{n}(\sum\limits_{m=1}^{R}F_i)!i!\sum\limits_{l=0}^{i}\sum\limits_{j=0}^{\sum\limits_{t=1}^{R}F_t}\frac{S(k,i-l)}{l!}\frac{S(i,\sum\limits_{w=1}^{R}F_w-j)}{j!}$的值$mod$ $1000000007$。

  其中$n,R\leq10^{18}$,$k\leq2*10^5$

题解:

  (爽感)

  这道题...精神污染。。。当然也包括题解的$O(k)$做法。。。

  于是我就自己YY了一个$O(klogk)$的能过的做法.

  首先,需要知道三个小结论:

    1.$\sum\limits_{i=1}^{n}F_i=F_{n+2}-1$,用归纳法可以轻松证明。

    2.$m^n=\sum\limits_{i=1}^{m}S(n,i)C_m^ii!$

    3.$S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum\limits_{i=0}^m(-1)^iC_m^i(m-i)^n$,本质上为结论2经二项式反演后的结果。

  证明一下第二个结论:

    考虑构造,把$n$个不同的球放入$m$个不同的盒子里,允许有空盒的方案数。

    显然,每个球都有$m$种选择方法,答案是$m^n$。

    换一种思维方式,可以想成枚举这$n$个球放入了那些盒子里,由于$S(n,m)$表示$n$个不同的球放入$m$个相同的盒子里无空盒的方案数,所以在乘上$C_m^ii!$。

  然后就可以开心的化式子了:

  设$L=\sum\limits_{m=1}^{R}F_i$,再把原式挪一下就变成了:

    $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{l=0}^{i}i!\frac{S(k,i-l)}{l!}\sum\limits_{j=0}^LL!\frac{S(i,L-j)}{j!}$

  然后我们神奇的发现后面的两个式子形式相同,以后一个为例:

    $\sum\limits_{j=0}^LL!\frac{S(i,L-j)}{j!}$,换成枚举$L-j$

    $=\sum\limits_{j=0}^LL!\frac{S(i,j)}{(L-j)!}$

    $=\sum\limits_{j=0}^LS(i,j)C_L^jj!$,这不就是结论2吗,直接等于$L^i$

  因此原式直接变为$\sum\limits_{i=0}^nL^ii^k$,但$n$依然很大。

  注意当$L=1$时式子变为$\sum\limits_{i=0}^ni^k$,需要用拉格朗日插值法求解,详见CF622F.

  若$L\neq1$,我的做法是把$i^k$变回斯特林数,即$\sum\limits_{i=0}^nL^i\sum\limits_{j=0}^kS(k,j)C_i^jj!$

  交换求和号,即$\sum\limits_{j=0}^kS(k,j)j!\sum\limits_{i=j}^nC_i^jL^i$,考虑如何快速求出$\sum\limits_{i=j}^nC_i^jL^i$。

  设$g(x)=\sum\limits_{i=x}^nC_i^xL^i$

  推导一波:

  $g(x)=\sum\limits_{i=x}^nL^iC_i^x$
  $=\sum\limits_{i=x}^nL^iC_{i-1}^{x-1}+\sum\limits_{i=x}^nL^iC_{i-1}^x$
  $=L\sum\limits_{i=x-1}^{n-1}L^{i}C_{i}^{x-1}+L\sum\limits_{i=x}^{n-1}L^{i}C_{i}^x$
  $=L(g(x-1)-L^nC_n^{x-1})+L(g(x)-L^nC_n^x)$

  在整理一下就是:$g(x)=\frac{Lg(x-1)-L^{n+1}C_{n+1}^x}{1-L}$,那么就可以$O(k)$的复杂度求出$g(x)$

  到此为止,原式变为$\sum\limits_{j=1}^kS(k,j)j!g(j)$,问题就剩下如何求第二类斯特林数$S(k,j)$了。

  应用第三个结论:$S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum\limits_{i=1}^m(-1)^iC_m^i(m-i)^n$,将其化为卷积形式:

  $S(n,m)=\sum\limits_{i=1}^m\frac{(-1)^i}{i!}\frac{(m-i)^n}{(m-i)!}$$NTT$即可。

  又由于模数不是$NTT$模数,因此需要$MTT$来实现。

 

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 530010
#define Re register
#define ld long double
#define mod 1000000007
#define pi (ld)acos(-1)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("inline")
#pragma GCC optimize("Ofast")
using namespace std;
typedef long long ll;
struct node{ll a[][];}tt,an;
int k,R[N];
ll n,r,ans,y[N],S[N],fac[N],inv[N];
node mul(const node&x,const node&y)
{
node ret;
for(Re int i = ;i<=;i++)
{
for(Re int j = ;j<=;j++)
{
ret.a[i][j] = ;
for(Re int k = ;k<=;k++)
ret.a[i][j] = (ret.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod)%mod;
}
}return ret;
}
inline void mpow(ll y)
{
an.a[][] = an.a[][] = ;
while(y)
{
if(y&)an = mul(an,tt);
tt = mul(tt,tt),y>>=;
}
}
ll ksm(ll x,ll y)
{
ll fin = ;
x%=mod,y%=mod-;
while(y)
{
if(y&)fin = fin*x%mod;
x = x*x%mod,y>>=;
}return fin;
}
struct fs
{
ld x,y;
friend fs operator+(const fs&a,const fs&b){return (fs){a.x+b.x,a.y+b.y};}
friend fs operator-(const fs&a,const fs&b){return (fs){a.x-b.x,a.y-b.y};}
friend fs operator*(const fs&a,const fs&b){return (fs){a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};}
}a[N],b[N],c[N],d[N],e[N],f[N],g[N],h[N];
inline void FFT(fs*A,int lim,int fl)
{
for(Re int i = ;i<lim;i++)if(i<R[i])swap(A[i],A[R[i]]);
for(Re int i = ;i<=lim;i<<=)
{
fs wn = (fs){cos(*pi/i),fl*sin(*pi/i)};
for(Re int j = ;j<lim;j+=i)
{
fs w = (fs){,};
for(Re int k = ;k<i>>;k++)
{
fs x = A[j+k],y = w*A[j+k+(i>>)];
A[j+k] = x+y,A[j+k+(i>>)] = x-y;
w = w*wn;
}
}
}if(fl==-)for(Re int i = ;i<lim;i++)A[i].x/=lim;
}
inline void p2()
{
for(Re int i = ;i<=k+;i++)y[i] = (y[i-]+ksm(i,k))%mod;
for(Re int i = ;i<=k+;i++)
{
int t = ;
for(Re int j = ;j<=k+;j++)
{
if(i==j)continue;
t = t*(n%mod-j)%mod*ksm(i-j,mod-)%mod;
}ans = (ans+y[i]*t%mod)%mod;
}printf("%lld",(ans+mod)%mod),exit();
}
int main()
{
freopen("c.in","r",stdin);
freopen("c.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld%d",&n,&r,&k);
tt.a[][] = tt.a[][] = tt.a[][] = ;
mpow(r+);
r = an.a[][]-;
if(r==)p2();
fac[] = fac[] = inv[] = inv[] = ;
for(Re int i = ;i<=k;i++)fac[i] = fac[i-]*i%mod,inv[i] = (mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
for(Re int i = ;i<=k;i++)inv[i] = inv[i]*inv[i-]%mod;
for(Re int i = ;i<=k;i++)
{
ll A = (inv[i]*(i&?-:)+mod)%mod;
ll B = ksm(i,k)*inv[i]%mod;
a[i].x = (ld)(A>>);
b[i].x = (ld)(A&0x7fff);
c[i].x = (ld)(B>>);
d[i].x = (ld)(B&0x7fff);
}
int lim = ,bit = ;
while(lim<=k<<)lim<<=,bit++;
for(Re int i = ;i<lim;i++)R[i] = (R[i>>]>>)|((i&)<<bit-);
FFT(a,lim,),FFT(b,lim,),FFT(c,lim,),FFT(d,lim,);
for(Re int i = ;i<lim;i++)
{
e[i] = a[i]*c[i];
f[i] = a[i]*d[i]+b[i]*c[i];
g[i] = b[i]*d[i];
}
FFT(e,lim,-),FFT(f,lim,-),FFT(g,lim,-);
for(Re int i = ;i<=k;i++)
{
ll E = (ll)round(e[i].x)%mod,F = (ll)round(f[i].x)%mod,G = (ll)round(g[i].x)%mod;
S[i] = (((E<<)%mod+(F<<)%mod+G)%mod+mod)%mod;
}
ll lst = (ksm(r,n+)-)*ksm(r-,mod-)%mod,now = ,t = ksm(r,n+),tt = ksm(-r,mod-);
for(Re int i = ;i<=k;i++)
{
now = now*(n%mod+-i)%mod;
lst = (lst*r%mod-now*inv[i]%mod*t%mod)%mod*tt%mod;
ans = (ans+S[i]*fac[i]%mod*lst%mod)%mod;
}printf("%lld",(ans+mod)%mod);
return ;
}

2019.10.02模拟赛T3的更多相关文章

  1. 2019.10.18模拟赛T3

    题目大意: 求$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n[lcm(i,j)>n](n\leq 10^{10})$的值. 题解: 这题貌似有n多种做法... 为 ...

  2. [10.18模拟赛] 序列 (DP)

    [10.18模拟赛] 序列 题目描述 山山有一个整数序列s1,s2,-,sn,其中1≤si≤k. 求出有多少个准确移除m个元素后不同的序列.答案模(1e9+7) 输入 输入包括几个测试用例,并且由文件 ...

  3. [10.12模拟赛] 老大 (二分/树的直径/树形dp)

    [10.12模拟赛] 老大 题目描述 因为 OB 今年拿下 4 块金牌,学校赞助扩建劳模办公室为劳模办公室群,为了体现 OI 的特色,办公室群被设计成了树形(n 个点 n − 1 条边的无向连通图), ...

  4. EZ 2018 06 10 NOIP2018 模拟赛(十八)

    好久没写blog&&比赛题解了,最近补一下 这次还是很狗的,T3想了很久最后竟然连并查集都忘写了,然后T2map莫名爆炸. Rating爆减......链接不解释 好了我们开始看题. ...

  5. 体育成绩统计——20180801模拟赛T3

    体育成绩统计 / Score 题目描述 正所谓“无体育,不清华”.为了更好地督促同学们进行体育锻炼,更加科学地对同学们进行评价,五道口体校的老师们在体育成绩的考核上可谓是煞费苦心.然而每到学期期末时, ...

  6. 2018.10.17NOIP模拟赛解题报告

    心路历程 预计得分:\(100 + 100 +100\) 实际得分:\(100 + 100 + 60\) 辣鸡模拟赛.. 5min切掉T1,看了一下T2 T3,感觉T3会被艹爆因为太原了.. 淦了20 ...

  7. 20180520模拟赛T3——chess

    [问题描述] 小美很喜欢下象棋. 而且她特别喜欢象棋中的马. 她觉得马的跳跃方式很独特.(以日字格的方式跳跃) 小芳给了小美一张很大的棋盘,这个棋盘是一个无穷的笛卡尔坐标. 一开始\(time=0\) ...

  8. 【2019.10.7 CCF-CSP-2019模拟赛 T3】未知的数组(unknown)(并查集+动态规划)

    预处理 考虑模数\(10\)是合数不好做,所以我们可以用一个常用套路: \(\prod_{i=l}^ra_i\equiv x(mod\ 10)\)的方案数等于\(\prod_{i=l}^ra_i\eq ...

  9. 【2019.8.6 慈溪模拟赛 T3】集合(set)(线段树上DP)

    线段树上\(DP\) 首先发现,每个数肯定是向自己的前驱或后继连边的. 则我们开一棵权值线段树,其中每一个节点记录一个\(f_{0/1,0/1}\),表示在这个区间左.右端点是否连过边的情况下,使这个 ...

随机推荐

  1. Hive数据类型和DDL操作

    hive命令 在Linux下的命令行中直接输入如下命令,可以查看帮助信息: # hive -help 常用的如-e.-f参数. 使用-e参数,可以直接在命令行传递SQL语句进行hive表数据的查询: ...

  2. sleuth和zipkin微服务里的链路跟踪

    分布式链路跟踪介绍 对于一个微服务系统,大多数来自外部的请求都会经过数个服务的互相调用,得到返回的结果,一旦结果回复较慢或者返回了不可用,我们就需要确定是哪个微服务出了问题.于是就有了分布式系统调用跟 ...

  3. 2019/12/16学习内容摘要(Vim)

    一,Vim与vi的区别 vim可以当作vi的升级版本,他可以用多种颜色的方式来显示一些特殊的信息. vim会依据文件扩展名或者是文件内的开头信息, 判断该文件的内容而自动的执行该程序的语法判断式,再以 ...

  4. Docker和ASP.NET Core

    Docker和ASP.NET Core Docker 正在逐渐成为容器行业的事实标准,受到 Windows 和 Linux 生态系统领域最重要供应商的支持. (Microsoft 是支持 Docker ...

  5. SpringBoot运行异常时捕获

    一.目录展示 二.FirstController 三.ExceptionHandler 捕获异常类 四.效果展示

  6. Codeforces Round #590 D. Distinct Characters Queries

    CF上给的标签是数据结构.但给的题解里的方法是很巧的暴力,用vector<set>维护每个字母出现的下标,每次修改加下标,擦下标.每次询问对每个字母分别lower_bound查找区间内是否 ...

  7. 使用python - selenium模拟登陆b站

    思路 输入用户名密码点击登陆 获取验证码的原始图片与有缺口的图片 找出两张图片的缺口起始处 拖动碎片 功能代码段 # 使用到的库 from selenium import webdriver from ...

  8. github用户注册和仓库创建

    访问github官网:https://github.com/,点击注册进入注册页面 输入用户名,电子邮箱和密码后点击下一步 邮箱验证,收到github的验证邮箱,打开后点击验证 选择个人计划 创建仓库 ...

  9. dev c++必须修改的三处默认设置

    此文档记录参加pat考试并且以dev c++[针对5.11版本]软件作为开发工具时,必须修改的三个默认设置. 1.修改默认语言标准 Dev C++ 5.11 版本支持较新的 C 和 C++ 标准,但是 ...

  10. linux命令--网络命令

    一.网络命令 1.配置ip 1.1 配置 IP 地址 IP 地址是计算机在互联网中唯一的地址编码.每台计算机如果需要接入网络和其他计算机进行数 据通信,就必须配置唯一的公网 IP 地址. 配置 IP ...