洛谷P3455 [POI2007]ZAP-Queries

题目大意：

给定\(n,m,k,\) 求
\[\sum\limits_{x=1}^n\sum\limits_{y=1}^m[gcd(x,y)==k]\]
莫比乌斯反演入门题，先进行一步转化，将每个\(x,y\)除以\(k\)，则答案变为
\[\sum\limits_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor} \sum\limits_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor} [gcd(x,y)==1]\]
发现最右边的条件可以莫比乌斯反演
\[\sum\limits_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor} \sum\limits_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor} \sum\limits_{d|n}\mu(d)\]
我们将枚举因子提到前面，改成枚举约数
\[\sum\limits_{d=1}^{min(\frac{n}{k},\frac{m}{k})}\mu(d) \sum\limits_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor} \sum\limits_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\]
易证：\(1-n\)中k个倍数个数为\(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\)$
所以原式等价于
\[\sum\limits_{d=1}^{min(\frac{n}{k},\frac{m}{k})}\mu(d)\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor \lfloor\frac{m}{kd}\rfloor\]
用除法分块可以做到\(O(\sqrt{n})\)