[实变函数]3.1 外测度 (outer measure)

1 并不是所有的集合都可求测度. 我们的想法是先对 $\bbR^n$ 中的任一集合定义一个``外

测度'' (outer measure), 然后再加上适当的条件 (Caratheodory 条件), 使 ``

外测度''  变为``测度'' (measure).

2 对 $E\subset \bbR^n$,  定义 $E$ 的外测度                $$\bex m^*E=\inf\sed{\sum_{n=1}^\infty |I_i|; E\subset \cup_{n=1}^\infty I_i}.                \eex$$

3 外测度的性质:

(1) $m^*E\geq 0$, $m^*\vno=0$.

(2) 单调性 (monotonicity) $A\subset B\ra m^*A\leq m^*B$.

证明: 注意到  $$\bex B\subset \cup_{n=1}^\infty I_i\ra  A\subset \cup_{n=1}^\infty I_i  \ra m^*A\leq \sum_{n=1}^\infty |I_i|.  \eex$$

(3) 次可数可加性 (sub countably additivity):  $$\bex m^*\sex{\cup_{n=1}^\infty A_i}\leq  \sum_{n=1}^\infty m^*A_i.  \eex$$

证明: 要证明 $a\leq b$, 一个常用的方法是证明  $$\bex a<b+\ve,\quad \forall\ \ve>0.  \eex$$

对 $\forall\ \ve>0,$ 由外测度的定义,  $$\beex  \bea \sum_{i=1}^\infty m^*A_i+\ve  &=\sum_{i=1}^\infty \sex{m^*A_i+\frac{\ve}{2^i}}\\  &> \sum_{i=1}^\infty  \sum_{j=1}^\infty |I_{ij}|\quad\sex{A_i\subset \cup_{j=1}^\infty I_{ij}}\\  &\geq m^*\sex{\cup_{i,j=1}^\infty A_i}\quad\sex{\cup_{i=1}^\infty A_i\subset \cup_{i,j=1}^\infty I_{ij}}.  \eea  \eeex$$

4 例 1: $m^*\bbQ=0$.

证明:                $$\bex m^*\bbQ=m^*\sex{\cup_{i=1}^\infty \sed{r_i}}                \leq \sum_{i=1}^\infty m^*\sex{\sed{r_i}}                =0.                \eex$$

5 例 2: 对任何区间 $I$, 有 $m^*I=|I|$.