POJ 1845 求a^b的约数和

题目大意就是给定a和b，求a^b的约数和

f(n) = sigma(d) [d|n]

这个学过莫比乌斯反演之后很容易看出这是一个积性函数

那么f(a*b) = f(a)*f(b)  (gcd(a,b)=1)

那么这道题就可以将a分解为每一个素数的k次方，求出相对应的f(p^k),将每一个乘在一起就行了

因为每一个素数得到的都是只有唯一的素数因子，那么f(n) 又变成了求 a^0+a^1+a^2....+a^k的值了 （n=a^k）

这里因为要取模，所以我用的是矩阵快速幂求的，网上别人用的都是二分分治求等比数列，反正这两种方法都不需要逆元，都能过

但我最开始写的要逆元的方法过不了也不知道为什么，希望路过大神知道的提个醒

矩阵快速幂的矩阵构造两维，第一维是等比关系，第二维保存前面所有值的和

{

a , a

0 , 1

}

分治求等比数列的和：

3: 用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n：

（1）若n为奇数,一共有偶数项，则：
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式，将在下面第4点讲述计算方法。

（2）若n为偶数,一共有奇数项,则:
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 #define ll long long
 const int MOD = ;

 struct Matrix{
     int m[][];
     void init(){memset(m ,  , sizeof(m)); m[][] = m[][] = ;}
     Matrix operator*(const Matrix &p)const {
         Matrix ans ;
         for(int i= ; i< ; i++)
             for(int j= ; j< ; j++){
                 ans.m[i][j] = ;
                 for(int k= ; k< ; k++)
                     ans.m[i][j] = (ans.m[i][j]+m[i][k]*p.m[k][j]%MOD)%MOD;
             }
         return ans;
     }
     void out(){
         cout<<m[][]<<" "<<m[][]<<endl<<m[][]<<" "<<m[][]<<endl;
     }
 };

 Matrix q_pow(Matrix a , int b)
 {
     Matrix ans;
     ans.init();
     while(b){
         if(b&) ans = ans*a;
         a = a*a ; b>>=;
     }
     return ans;
 }

 int get(int a , int b)
 {
     //a^0+a^1+a^2...+a^b
     Matrix p;
     p.m[][] = a%MOD , p.m[][] = a%MOD , p.m[][] =  , p.m[][] = ;
     p = q_pow(p , b);
     return (p.m[][]+p.m[][])%MOD;
 }

 void fenjie(int a , int b)
 {
     int mx = (int)sqrt(a+0.5) , ret = ;
     for(int i= ; i<=mx ; i++){
         if(i>a) break;
         int cnt = ;
         while(a%i==){
             cnt+=b , a/=i;
         }
         if(cnt) ret = (ret*get(i , cnt))%MOD;
     }
     if(a>) ret = (ret*get(a , b))%MOD;
     printf("%d\n" , ret);
 }

 int main() {
    // freopen("a.in" , "r" , stdin);
    // freopen("compare.txt" , "w" , stdout);
     int a , b;
     while(~scanf("%d%d" , &a , &b)){
         if(a == ) puts("");
         else fenjie(a , b);
     }
     return ;
 }

矩阵快速幂

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
const int MOD = ;

int q_pow(int a , int b)
{
    a = a%MOD;
    int ret = ;
    while(b){
        if(b&) ret = ret*a%MOD;
        a = a*a%MOD ; b>>=;
    }
    return ret;
}

int inv(int a){return q_pow(a , MOD-);}

int sum(int a , int b)
{
    //a^0+a^1+a^2...+a^b
    if(b==) return ;
    if(a==) return ;
    if(b&) return ((+q_pow(a , b/+))%MOD*(sum(a , b/)%MOD))%MOD;
    else return ((+q_pow(a , b/+))%MOD*(sum(a , b/-)%MOD)%MOD+(q_pow(a , b/)%MOD))%MOD;
}

void fenjie(int a , int b)
{
    int mx = (int)sqrt(a+0.5) , ret = ;
    for(int i= ; i<=mx ; i++){
        if(i>a) break;
        int cnt = ;
        while(a%i==){
            cnt+=b , a/=i;
        }
        if(cnt) ret = (ret*sum(i , cnt))%MOD;
    }
    if(a>) ret = (ret*sum(a , b))%MOD;
    printf("%d\n" , ret);
}

int main() {
   // freopen("a.in" , "r" , stdin);
   // freopen("compare.txt" , "w" , stdout);
    int a , b;
    while(~scanf("%d%d" , &a , &b)){
        if(a == ) puts("");
        else fenjie(a , b);
    }
    return ;
}

分治