请问您今天要来点 ODT 吗

梗出处：请问您今天要来点兔子吗？

这篇文章主要记录一下自己学习 $\text{ODT}$ 发生的种种。

CF896C Willem, Chtholly and Seniorious

$\text{ODT}$ 成名题目，表示 $\text{lxl}$ 为了防 $\text{Hack}$ 真的是用心了。

关于 $\text{ODT}$ 随机情况下的期望时间复杂度，请参考著名某知乎文章。

很暴力的数据结构，assign 操作是核心，剩下的基本上都是暴力区间分离，暴力统计联通区间。

期望时间复杂度 $\Theta(n \log \log n)$

P4979 矿洞：坍塌

为数不多 $\text{ODT}$ 的时间复杂度是正确的题目？

只能说 $\text{Hack}$ 数据卡了个寂寞。

有一种更加优秀的做法，但是我没想，所以下面给出一个不是很优秀的做法（也可以当做一种 $trick$）

发现一共两个操作，一个是 assign 操作，另一个是 query。

考虑时间复杂度最有可能会被摊到哪里，发现是我们亲爱的 query 操作。

因为 assign 操作可能会产生大量的散块，所以我们可以考虑在 query 的时候，对于当前同颜色联通的散块进行一次 assign，然后如果发现当前不合法了 break 维护再跳出，可以看出，这样摊下来时间复杂度会被摊到 $O(n \log n)$。

估计这可能也是它评蓝的原因

CF915E Physical Education Lessons

一开始脑瘫了，真的就按照题目给出的条件去硬 query 了。

发现如果硬 query 很容易被卡掉。

所以考虑修改带来的影响，发现每次修改都是 assign 操作，所以就考虑课程数的变化量 $\Delta$ 就可以了。

然后……就做完了，时间复杂度感觉有点抽象，不是很懂。

P5066 [Ynoi2014] 人人本着正义之名

感觉这个题 $\text{ODT}$ 很逆天，所以显然只能拿 $80$ pts。

首先看题，是 $01$ 序列。

然后发现，两个 assign，一个区间和，还有四个抽象的操作。

考虑那四个抽象的操作是什么：

相邻按位与：$0$ 向相邻方向吞一个。
相邻按位或：$1$ 向相邻方向吞一个。

然后……就是 $ODT$ 维护了。

当然，正解是平衡树。

CF817F MEX Queries

简单题，考虑将集合抽象成 $01$ 序列，这个时候发现原问题被转化成了如下问题：

区间推平 $1$
区间推平 $0$
区间取反

然后查询就是查询序列中第一个 $0$。

此时你会发现 $\text{ODT}$ 还是可能会被卡掉（不过据说没有卡）。

因为我们的复杂度大头在于查询的时候是从头开始向后扫，所以只要我们前部分的 $1$ 尽量在一个块内就可以了，此时考虑扫的过程中合并 $1$ 的散块，这样就能保证此时复杂度的正确。

考虑如果不合并，则可能出现进行构造的数据使得前部分全是 $1$ 的散块，则此时很容易 $\text{TLE}$ 掉。

所以如果我们让前部分的 $1$ 合并，则此时查询的时候复杂度在 $O(1)$ 到 $O(n)$ 徘徊，但是此时会出现问题，如果出题人想要卡掉合并这一个方法，则会出现修改于查询的比例不对称，如果想尽可能减小此时的比例，则必然 $0$ 会出现的很早，所以易证此时复杂度是正确的。

CF343D Water Tree

考虑这本质上就是一个区间推平 $01$ + 单点查询，所以此时我们显然可以使用 $\text{ODT}$

那么关于 $\text{ODT}$ 的单点查询，直接 lower_bound 就好，不要像我一样乱搞一气（虽然也过了/dk）。

时间复杂度 $O(n \log n)$