代码随想录算法训练营

代码随想录算法训练营Day44 动态规划|完全背包 518. 零钱兑换 II 377. 组合总和 Ⅳ

完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以这里还是以纯完全背包问题进行讲解理

举一个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30
问背包能背的物品最大价值是多少？
每件商品都有无限个！
问背包能背的物品最大价值是多少？
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！
回顾一下01背包的核心代码

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品

    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量

        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }

}

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品

    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量

        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }

}

dp状态图如下：

相信很多同学看网上的文章，关于完全背包介绍基本就到为止了。

其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？

这个问题很多题解关于这里都是轻描淡写就略过了，大家都默认遍历物品在外层，遍历背包容量在内层，好像本应该如此一样，那么为什么呢？

难道就不能遍历背包容量在外层，遍历物品在内层？

01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！

因为dp[j] 是根据下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。

先遍历背包在遍历物品，代码如下：

// 先遍历背包，再遍历物品

for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量

    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品

        if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }

    cout << endl;

}

完整的C++测试代码如下：

// 先遍历物品，在遍历背包

void test_CompletePack() {

    vector<int> weight = {1, 3, 4};

    vector<int> value = {15, 20, 30};

    int bagWeight = 4;

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);

    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品

        for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量

            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

        }

    }

    cout << dp[bagWeight] << endl;

}

int main() {

    test_CompletePack();

}

// 先遍历背包，再遍历物品

void test_CompletePack() {

    vector<int> weight = {1, 3, 4};

    vector<int> value = {15, 20, 30};

    int bagWeight = 4;

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);

    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量

        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品

            if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

        }

    }

    cout << dp[bagWeight] << endl;

}

int main() {

    test_CompletePack();

}

全文说的都是对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！

但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。

如果问装满背包有几种方式的话？那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。

518. 零钱兑换 II

题目链接：零钱兑换 II

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4

解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

总体思路

看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。

本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！

如示例一：

5 = 2 + 2 + 1

5 = 2 + 1 + 2

这是一种组合，都是 2 2 1。

如果问的是排列数，那么上面就是两种排列了。

组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。其实这一点我们在讲解回溯算法专题的时候就讲过了哈。

那我为什么要介绍这些呢，因为这和下文讲解遍历顺序息息相关!

动规五步曲来分析如下：

确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
确定递推公式

dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。

所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

这个递推公式大家应该不陌生了，我在讲解01背包题目的时候在这篇494. 目标和中就讲解了，求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];
dp数组如何初始化

首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。

那么 dp[0] = 1 有没有含义，其实既可以说凑成总金额0的货币组合数为1，也可以说凑成总金额0的货币组合数为0，好像都没有毛病。

但题目描述中，也没明确说 amount = 0 的情况，结果应该是多少。

这里我认为题目描述还是要说明一下，因为后台测试数据是默认，amount = 0 的情况，组合数为1的。

下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。
确定遍历顺序

本题中我们是外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额），还是外层for遍历背包（金钱总额），内层for循环遍历物品（钱币）呢？

因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！

而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。

所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。

本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。

那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。

我们先来看外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品

    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量

        dp[j] += dp[j - coins[i]];

    }

}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

如果把两个for交换顺序，代码如下：

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量

    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品

        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];

    }

}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数！

可能这里很多同学还不是很理解，建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）

5. 举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

最后红色框dp[amount]为最终结果。

class Solution {

public:

    int change(int amount, vector<int>& coins) {

        vector<int> dp(amount + 1, 0);

        dp[0] = 1;

        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品

            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包

                dp[j] += dp[j - coins[i]];

            }

        }

        return dp[amount];

    }

};

377. 组合总和 Ⅳ