Résumé Review 二分方法题解

一道非常好的数学题，不愧是CF的题，跟某些网站上的水题、恶心题没法比~

题意

这里就要夸一下某谷了，翻译的很好，不像我，在CF上用deepl翻译，不够清晰（←全是废话）

分析

先不考虑 b_i ，考虑转换为将k个1分配到每一个 b_i 中（因为 b_i ∈ N^*），定义f(x,i) = a_i x + x³ ,m = 1

则可以得出

Δf(x,i) = f(x + m,i) - f(x,i) = a_i - 3x² + 3x - 1

易得暴力：O(N)地去枚举每个1给哪个b_i ，显然此时的 Δf(x,i) = ans = maxⁿ_{i = 1}  Δf(x,i)，

但是暴力的时间复杂度为O(NK)，很明显，不行

再回归Δf(x,i) = f(x + m,i) - f(x,i) = a_i - 3x² + 3x - 1，x∈N^* 

注意x∈N^* 

在将Δf的函数图画出来之后，发现，只要存在x∈N^* ，Δf单调递减，所以在暴力的做法中，每次增加的Δf(x,i) 一定也是递减的

我们定义最大的 Δf(x,i) = p，也就是在暴力做法中第一次加的答案，之后的操作所增加的Δf(x,i)一定都不会超过p，由此，得出满足条件的最大的每一个b_i ，可以看出，p具有单调性，想到了什么？二分！！！

所以直接二分p，可以求b_i 的过程可以用二分，也可以用解一元二次方程的方法做

但是，这样使用二分，不一定使b序列之和 = k成立，所以剩下的一小部分，暴力求得最优解，同时计算Δf(x,i)

 1 #include"bits/stdc++.h"
 2 using namespace std;
 3 #define ll long long
 4 const ll N = 200010,inf = 1e18;
 5 #define inl inline
 6 #define regi register int
 7 ll n,k;
 8 ll l,r,mid,sm;
 9 ll a[N],v[N];
10 inl ll read(void)
11 {
12     ll x = 0,f = 1;char ch = getchar();
13     while(!isdigit(ch)) f = ch == '-' ? - 1 : f,ch = getchar();
14     while(isdigit(ch)) x = (x << 3) + (x << 1) + ch - '0',ch = getchar();
15     return x * f;
16 }
17 inl ll f(ll u,ll x);
18 inl ll calc(ll x,ll lim);
19 inl ll check(ll mid);
20 int main(void)
21 {
22     n = read(),k = read();
23     for(regi i = 1;i <= n;i ++)
24     {
25         a[i] = read(),l = min(l,f(a[i],a[i] - 1)),r = max(r,f(a[i],0));
26     }
27     while(r - l >= 2)
28     {
29         mid = (l + r) >> 1;
30         check(mid) ? r = mid : l = mid;
31     }
32     if(check(l))
33     {
34         r = l;
35     }
36     check(r);
37     k -= sm;
38
39     for(regi i = 1;i <= n;i ++)
40
41         if(k && v[i] < a[i] && f(a[i],v[i]) == r)    v[i] ++,k --;
42
43     for(regi i = 1;i <= n;i ++)
44     {
45         printf("%lld ",v[i]);
46     }
47     return 0;
48 }
49
50 inl ll f(ll u,ll x)
51 {
52     return u == x ? inf : u - 3 * x * x + 3 * x - 1;
53 }
54 inl ll calc(ll x,ll lim)
55 {
56     ll l = 1,r = a[x],mid,res = a[x];
57     while(l <= r)
58     {
59         mid = (l + r) >> 1;
60         if(f(a[x],mid) <= lim)
61
62             r = mid - 1,res = mid;
63         else
64             l = mid + 1;
65     }
66     return res;
67 }
68 inl ll check(ll mid)
69 {
70     sm = 0;
71     for(regi i=1;i <= n;i ++)
72     {
73         sm += (v[i] = calc(i,mid));
74     }
75     return sm < k;
76 }