NOI2015 寿司晚宴

今年NOI确实是在下输了。最近想把当时不会做的题都写一下。

题意

从2到n（500）这些数字中，选若干分给A，若干分给B，满足不存在：A的某个数和B的某个数的GCD不等于1。

对于寿司晚宴这题，标准解答确实是有个神奇的DP。

算法

我们要关注的只是所有的质数。最简单的想法就是枚举A，B各获得哪些数。但是质数的数量实在比较多。然后有个技巧就是将小于\(\sqrt n\)的质数和大于\(\sqrt n\)的数分开处理。这样做的原因是一个数最多只能有一个大于\(\sqrt n\)的质因数。

这样的话，小于\(\sqrt n\)的质数就只有8个了。状态压缩DP或者容斥，就能在\(O(2^8 \times 2^8 n)\)内计算出，A获得的质数集合是x（状态压缩为一整数），B获得的质数集合是y时，有多少种方案，记为f(x, y)。注意，这里的方案并没有计算含有大于\(\sqrt n\)的质因数的数字。

接下来，我们要把这些数字也算入答案。奇妙的DP就在这里体现了。

我们只要枚举大于\(\sqrt n\)的那些质数p，一个一个累加到f里，就可以得到最终的答案了。

设g(i, x, y)表示将\(ip\)这个数字分出去后（或者不分给任何人），A获得的质数集合是x，B获得的质数集合是y的方案数。那么，考虑下一个数\((i+1)p\)，分给A（分给B同理）：

\[g(i + 1, add(x, (i+1)p), y) = g(i, x, y) + f(x, y)
\]

add(x, num)表示将num这个数加进去后，x的变化。

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我可能说得不是很清楚，但这毕竟我是打算自己看的。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, MOD;

const int prime[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};

void clear(int (*array)[256]) {
  memset(array, 0, sizeof(int) * 256 * 256);
}

void copy(int (*src)[256], int (*dest)[256]) {
  memcpy(dest, src, sizeof(int) * 256 * 256);
}

void add(int &x, int delta) {
  if (delta >= MOD) delta -= MOD;
  x += delta;
  if (x >= MOD) x -= MOD;
}

int main() {
  scanf("%d%d", &n, &MOD);

  static int devide[503];
  for (int j = 1; j <= n; j++) {
    int ret = 0;
    int num = j;
    for (int i = 0; i < 8; i++) {
      int x = prime[i];
      while (num % x == 0) {
        num /= x;
        ret |= 1 << i;
      }
    }
    if (num == 1) devide[j] = ret;
    else devide[j] = ret ? -2 : -1;
  }

  static int dp[2][256][256];
  int (*cur)[256] = dp[0];
  int (*next)[256] = dp[1];

  cur[0][0] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    int s = devide[i];
    if (s < 0) continue;
    copy(cur, next);
    for (int a = 0; a < 256; a++)
      for (int b = 0; b < 256; b++) {
        int &x = cur[a][b];
        if (x) {
          if (! (s & b)) add(next[a | s][b], x);
          if (! (s & a)) add(next[a][b | s], x);
        }
      }
    swap(next, cur);
  }

  static int f[256][256];
  for (int i = 23; i <= n; i++) {
    if (devide[i] != -1) continue;
    clear(f);
    for (int j = 1; j * i <= n; j++) {
      int s = devide[j];
      for (int a = 255; a >= 0; a--)
        for (int b = 255; b >= 0; b--) {
          if (! (s & b)) add(f[a | s][b], f[a][b] + cur[a][b]);
        }
    }
    for (int a = 0; a < 256; a++)
      for (int b = 0; b < 256; b++)
        add(cur[a][b], f[a][b] + f[b][a]);
  }

  int ans = 0;
  for (int a = 0; a < 256; a++)
    for (int b = 0; b < 256; b++)
      add(ans, cur[a][b]);
  printf("%d\n", ans);

  return 0;
}