GDSOI2015 task2 覆盖半径

题目大意

一个\(n\times m\)的矩阵中有\(p\)个已经确定圆心的圆，并且每个格子有一定的分数，如果一个格子被任意一个或以上的圆覆盖，那么就可以得到这个格子的分数。现在求最小的半径，使得得分达到目标得分。

算法1

如果我们从二分答案入手，就可以得到一个判定性问题：给出一些半径相同的圆，求被它们覆盖的格子的分数总和。

如果我们直接统计的话，时间复杂度为\(O(n^2p\log n)\)，做足常数优化的话，应该有\(10\)分。

算法2

对上面的进行改良，我们不使用太暴力的方法。我们可以把一个圆拆成若干宽度为\(1\)的矩形，或者说是条形的东西，然后对于每一列，我们可以得到若干区间来覆盖这一列的格子。

这个我们可以对区间的首尾分别进行排序，然后从上往下扫一遍，记一个\(cover\)，如果有区间进入就将\(cover\)加一，有出去的区间就减一。接着弄个部分和什么的，就可以得到这一列的得分了。

时间复杂度：还是\(O(n^2p\log n)\)。

算法3

直接用k-d树，期望时间复杂度\(O((n^2\log n + p) \log n)\)。

算法4

换一个思路，计算每个格子被覆盖时最小需要的半径，也就是找到距离这个格子最近的圆心。然后就可以线性的扫描一遍得到答案。

评委给出的方法是，每一次计算一行格子的答案。对于一个在第\(i\)列的格子，计算它到最近的圆心（注意，圆心与这个格子必须在同一列）的距离，记为\(a_i\)，显然这个是很容易计算的。然后对于位于第\(i\)列的格子，我们可以枚举\(j\)，这时，这个格子的答案可以这样计算：\(\min_j {((i-j)^2+a_j)}\)即\(\min_j (i^2+j^2-2ij+a_j)\)。

设一个截距\(z= i^2+j^2-2ij+a_j\)，然后就是\(2ij+z= i^2+j^2+a_j\)，把\(2j\)当作横坐标，\(j^2+a_j\)为纵坐标，就是典型的斜率优化。这里\(i\)递增，\(2j\)递增，所以这个可以在\(O(n)\)的时间内完成。

于是我们可以从左往右做一次，再从右往左做一次，就可以得到这一行的格子的答案了。

总时间复杂度\(O(n^2)\)。

算法5

这是评讲时各路神犇提出的方法，同样要计算距离每个格子最近的圆心：

对于每一个格子，记一个二元组\((d,k)\)，表示距离这个格子最近的圆心是为\(k\)，距离是\(d\)。于是，每个格子可以去更新其他格子。注意到\(d\)最小的格子是不可能被其他格子更新的，所以我们可以采用Dijkstra的思想，弄一个优先队列不断更新即可。

时间复杂度：\(O(n^2\log n)\)。

算法6

还是k-d树，期望时间复杂度\(O(n^2\log n)\)。

算法7

维护一个凸壳，然后通过三分来找到最近的点。需要上下各做一次。

时间复杂度：\(O(n^2 \log_{1.5} n)\)。

算法8

这是zhx提出的随机化算法，考场上A掉了数据。

先把塔random_shuffle一下，每次取一座塔，然后往四周宽搜更新格子最近的塔，当然，如果不能更新则不把该格子放入队列。据zhx所言，每个点期望被更新\(log n\)次，我也不知道怎么证明啊囧。所以总的时间复杂度是\(O(n^2 \log n)\)，感觉会很好写。