[CF1519C] Berland Regional （数论分块）

题面

有 n 个学生和 n 所大学，每个学生在其中一所大学中学习，且各有一个能力值

s

i

s_i

si​ 。

某次组队打比赛的召集令会给一个数字 k ，表示团队数量。然后每所大学会先把自己的所有学生按照

a

i

a_i

ai​ 从大到小排序，选前

k

k

k 个组个队，前

k

+

1

k+1

k+1 到

2

k

2k

2k 个组个队，……剩下最后不足

k

k

k 个学生，这些学生就不能组队。

每次召集的总能力值为所有组出来的队伍的每个学生的能力值之和。现在有

n

n

n 次召集令，给出的

k

k

k 分别是 1~n，分别求每次召集的总能力值。

题解

我这个做法被 nlogn 做法吊打，本愧于过此题，然所用方法有点思维，不如写来搏之一笑。

分别求每个学生的贡献。

假设当前学生在他(她)的大学里排名为倒数第

y

y

y ，而大学里总共

x

x

x 个学生，那么该学生对数字为

k

k

k 的召集令有贡献当且仅当

x
 ⁣ ⁣ ⁣ ⁣

m

o

d

  

k

<

y

x\!\!\!\!\mod k<y

xmodk<y
变一下式子：

x

−

⌊

x

k

⌋

∗

k

<

y

⇔

x

−

y

<

⌊

x

k

⌋

∗

k

⇔

⌊

x

−

y

k

⌋

<

⌊

x

k

⌋

x-\left\lfloor \frac{x}{k}\right\rfloor*k<y\\ ~~\Leftrightarrow~~ x-y<\left\lfloor \frac{x}{k}\right\rfloor*k\\ ~~\Leftrightarrow~~ \left\lfloor \frac{x-y}{k}\right\rfloor<\left\lfloor \frac{x}{k}\right\rfloor

x−⌊kx​⌋∗k<y  ⇔  x−y<⌊kx​⌋∗k  ⇔  ⌊kx−y​⌋<⌊kx​⌋

如果我们已知

⌊

x

k

⌋

=

d

\left\lfloor \frac{x}{k}\right\rfloor=d

⌊kx​⌋=d，那么

⌊

x

−

y

k

⌋

<

d

⇔

x

−

y

<

d

k

⇔

⌊

x

−

y

d

⌋

<

k

\left\lfloor \frac{x-y}{k}\right\rfloor<d\\ ~~\Leftrightarrow~~ x-y<dk\\ ~~\Leftrightarrow~~ \left\lfloor \frac{x-y}{d}\right\rfloor<k

⌊kx−y​⌋<d  ⇔  x−y<dk  ⇔  ⌊dx−y​⌋<k

好，这是个关于

k

k

k 的范围的表达式了，由于我们知道

⌊

x

k

⌋

\left\lfloor \frac{x}{k}\right\rfloor

⌊kx​⌋ 随着

k

k

k 的不同只有大约

x

\sqrt x

x

​ 个取值，因此我们可以数论分块枚举，每次枚举到一个区间

[

l

,

r

]

[l,r]

[l,r] 和

d

d

d，就对答案序列的

[

max

⁡

(

⌊

x

−

y

d

⌋

+

1

,

l

)

,

r

]

[\max(\left\lfloor \frac{x-y}{d}\right\rfloor+1,l),r]

[max(⌊dx−y​⌋+1,l),r] 产生贡献。

对每个学生都计算一次，复杂度

O

(

n

n

)

O(n\sqrt n)

O(nn

​)。

CODE

#include<set>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
int a[MAXN];
vector<int> u[MAXN];
LL sm[MAXN];
bool cmp(int x,int y) {return a[x] > a[y];}
int main() {
	int T = read();
	while(T --) {
		n = read();
		for(int i = 1;i <= n;i ++) u[i].clear(),sm[i] = 0;
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			s = read(); u[s].push_back(i);
		}
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			a[i] = read();
		}
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			sort(u[i].begin(),u[i].end(),cmp);
			int X = u[i].size();
			for(int j = 0,nm = X;j < (int)u[i].size();j ++,nm --) {
				int con = a[u[i][j]];
				sm[1] += con; sm[nm+1] -= con;
				for(int l = nm+1,r = 1;l <= X;l = r+1) {
					r = X/(X/l); int d = X / l;
					int ll = max(l,((X-nm)/d) + 1);
					if(ll <= r) {
						sm[ll] += con; sm[r+1] -= con;
					}
				}
			}
		}
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			sm[i] += sm[i-1];
			printf("%lld ",sm[i]);
		}ENDL;
	}
	return 0;
}