第四届CCF软件能力认证(CSP2015) 第五题（最小花费）题解

【问题描述】

　　C国共有$n$个城市。有$n-1$条双向道路，每条道路连接两个城市，任意两个城市之间能互相到达。小R来到C国旅行，他共规划了$m$条旅行的路线， 第$i$条旅行路线的起点是$s_i$，终点是$t_i$。在旅行过程中，小R每行走一单位长度的路需要吃一单位的食物。C国的食物只能在各个城市中买到，而且不同城市的食物价格可能不同。
　　然而，小R不希望在旅行中为了购买较低价的粮食而绕远路，因此他总会选择最近的路走。现在，请你计算小R规划的每条旅行路线的最小花费是多少。

【输入格式】

　　第一行包含2个整数$n$和$m$。
　　第二行包含$n$个整数。第$i$个整数$w_i$表示城市$i$的食物价格。
　　接下来$n-1$行，每行包括3个整数$u, v, e$，表示城市$u$和城市$v$之间有一条长为$e$的双向道路。
　　接下来$m$行，每行包含2个整数$s_i$和$t_i$，分别表示一条旅行路线的起点和终点。

【输出格式】

　　输出$m$行，分别代表每一条旅行方案的最小花费。

【样例输入】

6 4
1 7 3 2 5 6
1 2 4
1 3 5
2 4 1
3 5 2
3 6 1
2 5
4 6
6 4
5 6

【样例输出】

35
16
26
13

【样例说明】

对于第一条路线，小R会经过2->1->3->5。其中在城市2处以7的价格购买4单位粮食，到城市1时全部吃完，并用1
的价格购买7单位粮食，然后到达终点。

【评测用例规模与约定】

　　前10%的评测用例满足：$n, m ≤ 20, w_i ≤ 20$；
　　前30%的评测用例满足：$n, m ≤ 200$；
　　另有40%的评测用例满足：一个城市至多与其它两个城市相连。
　　所有评测用例都满足：$1 ≤ n, m ≤ 10^5，1 ≤ w_i ≤ 10^6，1 ≤ e ≤ 10000$。

【题解】

首先注意到，一条路径的选择方案，一定是从一个点走到下一个比它便宜的点，这之间的食物都在这个点购买。

而这个信息不具有可加性，却具有可减性。

之前在网上搜到了一篇自称要维护两遍单调栈三个lct的博客，但是维护单调栈的最坏时间复杂度为$O(n^2)$。

下面介绍一种基于点分治的做法。

假设当前分治中心为T，对于一个询问u->v,可以被拆成u->T,T->v，对于u->T的费用，我们可以在倍增数组上二分出u上面第一个比它便宜的位置，用这个位置的信息可以直接得出u的信息。

现在考虑T->v的费用，对于每一个询问，都附加了一个状态，表示之前便宜的费用c，我们需要在T->v的路径上找到第一个比它便宜的点设为x（这个可以通过dfs时维护一个前缀最小值数据来二分求得），这一段用的费用是dis(T, x) * c，剩下的部分就是从x向下走走到v的费用，我们可以通过dfs求出每个点到T的费用，之前已经提到过，维护的信息具有可减性，就可以$O(1)$的时间算出从一个点往下走的走到某个点的费用。

至此，问题在$O(n\log^2n)$的时间复杂度，$O(n\log n)$的空间复杂度内解决。

【代码】（滥用stl导致常数非常大）

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long LL;
 typedef pair<int, int> pii;
 #define FI first
 #define SE second
 #define for_edge(u, it) for(vector<pii>::iterator it = G[u].begin(); it != G[u].end(); ++it)

 const int N =  + ;

 vector<pii> G[N];
 vector<int> Q[N], q1[N], q2[N];
 LL dis[N], disv[N];
 int cost[N], sz[N], maxsz[N], top[N], root;
 pii q_info[N];
 pair<LL, int> ans[N];
 bool centre[N];

 #define v it->FI
 void get_size(int u, int fa) {
     maxsz[u] = , sz[u] = ;
     for_edge(u, it) if(v != fa && !centre[v]) {
         get_size(v, u);
         sz[u] += sz[v];
         maxsz[u] = max(maxsz[u], sz[v]);
     }
 }

 void get_root(int u, int fa, int r) {
     maxsz[u] = max(maxsz[u], sz[r] - sz[u]);
     if(maxsz[u] < maxsz[root]) root = u;
     for_edge(u, it) if(v != fa && !centre[v]) {
         get_root(v, u, r);
     }
 }

 int anc[][N], val[][N];

 int tot_time;

 void get_top(int u, int fa, int pre) {
     anc[][u] = fa, val[][u] = cost[u];
     int tmp = clock();
     for(int i = ; i < ; i++) {
         val[i][u] = min(val[i-][u], val[i-][anc[i-][u]]);
         anc[i][u] = anc[i-][anc[i-][u]];
     }
     tot_time += clock() - tmp;

     top[u] = pre;
     for_edge(u, it) if(v != fa && !centre[v]) {
         dis[v] = dis[u] + it->SE, get_top(v, u, pre);
     }
 }

 int pre[N];

 int find(int u) {
     int cost_u = cost[u];
     //int tmp = clock();
     for(int i = ; i >= ; i--) {
         if(val[i][u] >= cost_u) u = anc[i][u];
     }
     //tot_time += clock() - tmp;
     return u;
 }

 void calc_1(int u, int fa) {
     int anc = find(u);

     if(anc) pre[u] = pre[anc];
     else anc = root, pre[u] = u; // be root when not exist
     disv[u] = (dis[u] - dis[anc]) * cost[u] + disv[anc];

     for(unsigned i = ; i < q1[u].size(); i++) {
         ans[q1[u][i]] = make_pair(disv[u], cost[pre[u]]);
     }

     for_edge(u, it) if(v != fa && !centre[v]) {
         calc_1(v, u);
     }

 }

 void calc_2(int u, int fa, int fee) {
     static int val[N], id[N], tot;
     disv[u] = (dis[u] - dis[fa]) * fee + disv[fa];
     id[tot] = u, val[tot] = cost[u];
     if(tot++) val[tot-] = min(val[tot-], cost[u]);

     id[tot] = u; // be u when not exist
     for(unsigned i = ; i < q2[u].size(); i++) {
         int c = q2[u][i];
         int anc = id[lower_bound(val, val + tot, ans[c].SE, greater<int>()) - val];
         ans[c].FI += ans[c].SE * (dis[anc] - dis[root]) + disv[u] - disv[anc];
     }

     for_edge(u, it) if(v != fa && !centre[v]) {
         calc_2(v, u, min(fee, cost[u]));
     }
     --tot;
 }

 void solve(int u) {
     if(!Q[u].size()) return;

     get_size(u, );
     root = u, get_root(u, , u);
     //cerr << sz[u] << ' ' << maxsz[root] << endl;

     vector<int> vec_q;
     vec_q.swap(Q[u]);

     centre[u = root] = , top[u] = u, dis[u] = ;
     for(int i = ; i < ; i++) anc[i][u] = val[i][u] = ;
     val[][u] = cost[u];
     for_edge(u, it) if(!centre[v]) {
         dis[v] = it->SE, get_top(v, u, v);
     }

     for(unsigned i = ; i < vec_q.size(); i++) {
         int c = vec_q[i], x = q_info[c].FI, y = q_info[c].SE;
         if(top[x] == top[y]) Q[top[x]].push_back(c);
         else q1[x].push_back(c), q2[y].push_back(c);
     }

     disv[u] = , pre[u] = u;
     calc_1(u, );

     disv[u] = ;
     calc_2(root, , cost[u]);

     for(unsigned i = ; i < vec_q.size(); i++) {
         int c = vec_q[i], x = q_info[c].FI, y = q_info[c].SE;
         q1[x].clear(), q2[y].clear();
     }

     for_edge(u, it) if(!centre[v]) {
         solve(v);
     }
 }
 #undef v

 int main() {
 #ifdef DEBUG
     freopen("in.txt", "r", stdin);
     freopen("out.txt", "w", stdout);
     int start_time = clock();
 #endif

     int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         scanf("%d", cost + i);
     }
     for(int i = ; i < n; i++) {
         int u, v, w;
         scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
         G[u].push_back(pii(v, w));
         G[v].push_back(pii(u, w));
     }

     for(int i = ; i < m; i++) {
         pii &cur = q_info[i];
         scanf("%d%d", &cur.FI, &cur.SE);
         if(cur.FI != cur.SE) Q[].push_back(i);
     }

     solve();

     for(int i = ; i < m; i++) {
         printf("%I64d\n", ans[i].FI);
     }
 #ifdef DEBUG
     fprintf(stderr, "time used : %.5fs, %.5fs\n", (double) (clock() - start_time) / CLOCKS_PER_SEC, (double)tot_time / CLOCKS_PER_SEC);
 #endif
     return ;
 }