【JZOJ6388】小w的作业

description

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analysis

• 二分一个角度，首先假设该弧度角\(\theta \in[{\pi \over 2},\pi]\)，要找的直线斜率\(k\in(-∞,\tan\theta]\)

• 要找这种直线，两个点\((x_i,y_i),(x_j,y_j)\)构成一条直线，先钦定\(x_i≤x_j\)

• 直线斜率\({{y_j-y_i}\over{x_j-x_i}}≤\tan\theta\)，转化后变成\(y_j-x_j\tan\theta≤y_i-x_i\tan\theta\)

• 因为两边分别只和\(i,j\)有关，可以把\(y_k-x_k\tan\theta\)记做\(yy_k\)，\((x_i,y_i)\)映射到\((x_i,yy_i)\)

• 此时就是要求有多少对点\(x_i≤x_j,yy_i≥yy_j\)，二维偏序，用树状数组解决

• 这种情况少计算了斜率为正的直线条数，需要把算少的这部分加起来

• 那么对于\(\theta\in[0,{\pi \over 2})\)，计算斜率小于\(\tan\theta\)的直线条数过程是完全一样的

• 这种情况又多计算了斜率为负的直线条数，需要把算多的这部分减掉

• 经过一个点有多少条直线斜率为正，就是一个点右上角的点个数；斜率为负就是左上角的点个数

• 这个可以一开始用两次树状数组求出\(\sum\)右上角点个数和\(\sum\)左上角点个数

• 由于二分区间不同，这里左上角右上角求的范围有一点点差别，左上角必须严格高于该点，右上角则否

• 二分的时候判断当前在直线右手边的直线条数是否大于等于比较数，是则\(r\)右移，否则\(l\)左移

• 注意取开闭区间和计算的小细节

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code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define eps 1e-10
#define MAXN 100005
#define db double
#define ll long long
#define reg register ll
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
#define pi 3.1415926535897932384626
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll tr[MAXN],sum[MAXN];
ll n,m,tot,summ1,summ2;

struct node
{
	ll x,y;
}a[MAXN];
struct node1
{
	db x;ll y,val;
}b[MAXN];
inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
inline bool cmp(node a,node b){return a.x<b.x || (a.x==b.x && a.y>b.y);}
inline bool cmp1(node1 a,node1 b){return a.x<b.x;}
inline bool cmp2(node1 a,node1 b){return a.y<b.y;}
inline void insert(ll x){while (x<=n)++tr[x],x+=lowbit(x);}
inline ll query(ll x){ll y=0;while (x)y+=tr[x],x-=lowbit(x);return y;}
inline ll get(ll x,ll y){return query(y)-query(x-1);}
inline db binary(db m)
{
	db l=0,r=pi,mid,tann;
	while (r-l>eps)
	{
		mid=(l+r)/2.0,tann=tan(mid);
		memset(tr,0,sizeof(tr)),memset(sum,0,sizeof(sum));
		fo(i,1,n)b[i].x=1.0*(a[i].y-a[i].x*tann),b[i].y=i;
		sort(b+1,b+n+1,cmp1),tot=0;
		fo(i,1,n)
		{
			b[i].val=++tot;
			while (i<n && fabs(b[i].x-b[i+1].x)<eps)b[++i].val=tot;
		}
		sort(b+1,b+n+1,cmp2);ll total=0;
		fd(i,n,1)total+=(sum[i]=get(1,b[i].val)),insert(b[i].val);
		total+=(mid*2>pi?summ1:-summ2);
		if (total>=m)r=mid;else l=mid;
	}
	return r;
}
int main()
{
	//freopen("T2.in","r",stdin);
	freopen("line.in","r",stdin);
	freopen("line.out","w",stdout);
	n=read(),m=n*(n-1)/2;
	fo(i,1,n)a[i].x=read(),a[i].y=read();
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	fo(i,1,n)b[i].x=a[i].y,b[i].y=i;
	sort(b+1,b+n+1,cmp1),tot=0;
	fo(i,1,n)
	{
		b[i].val=++tot;
		while (i<n && b[i].x==b[i+1].x)b[++i].val=tot;
	}
	sort(b+1,b+n+1,cmp2);
	fd(i,n,1)summ1+=get(b[i].val,tot),insert(b[i].val);
	memset(tr,0,sizeof(tr));
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	fo(i,1,n)b[i].x=a[i].y,b[i].y=i;
	sort(b+1,b+n+1,cmp1),tot=0;
	fo(i,1,n)
	{
		b[i].val=++tot;
		while (i<n && b[i].x==b[i+1].x)b[++i].val=tot;
	}
	sort(b+1,b+n+1,cmp2);
	fo(i,1,n)summ2+=get(b[i].val+1,tot),insert(b[i].val);
	printf("%.13lf\n",m&1?binary((m+1)/2):(binary(m/2)+binary(m/2+1))/2);
	return 0;
}