COGS2355 【HZOI2015】 有标号的DAG计数 II

题面

题目描述

给定一正整数n，对n个点有标号的有向无环图(可以不连通)进行计数，输出答案mod 998244353的结果

输入格式

一个正整数n

输出格式

一个数，表示答案

样例输入

3

样例输出

25

数据范围和约定

对于第i个点 1<=n<=10000*i

增大了数据范围。

题目分析

COGS2353 【HZOI2015】有标号的DAG计数 I升级版。

在这道题的基础上继续往下化：

\[\begin{split}
f(n)&=\sum_{i=1}^n\frac {n!}{(n-i)!\cdot i!}\cdot(-1)^{i+1}\cdot f(n-i)\cdot2^{(n-i)\cdot i}\\
\frac{f(n)}{n!}&=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}}{i!}\cdot \frac{f(n-i)}{(n-i)!}\cdot2^{(n-i)\cdot i}
\end{split}
\]

一个套路

\[\begin{split}
2^{k(n-k)}&=\sqrt{2}^{2kn-2k^2}\\
&=\sqrt{2}^{-n^2+2kn-k^2-k^2+n^2}\\
&=\sqrt{2}^{n^2-k^2-(n-k)^2}\\
&=\frac{\sqrt{2}^{n^2}}{\sqrt{2}^{k^2}\sqrt{2}^{(n-k)^2}}
\end{split}
\]

所以

\[\frac{f(n)}{n!\sqrt2^{n^2}}=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i+1}}{i!\sqrt2^{i^2}}\cdot \frac{f(n-i)}{(n-i)!\sqrt2^{(n-i)^2}}
\]

构造生成函数

\[\begin{split}
F(x)&=\sum_{i=1}\frac{f(i)}{i!\sqrt 2^{i^2}}x^i\\
G(x)&=\sum_{i=1}\frac{(-1)^{i+1}}{i!\sqrt 2^{i^2}}x^i\\
\end{split}
\]

所以

\[\begin{split}
F&=F*G+1\\
F&=\frac 1{1-G}
\end{split}
\]

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=400005,mod=998244353,qr2=116195171;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int ksm(int x,int k){
	int ret=1;
	while(k){
		if(k&1)ret=1ll*ret*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod,k>>=1;
	}
	return ret;
}
void NTT(int *a,int x,int K){
	static int rev[N],lst;
	int n=1<<x;
	if(n!=lst){
		for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<x-1);
		lst=n;
	}
	for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<n;i<<=1){
		int tmp=i<<1,wn=ksm(3,(mod-1)/tmp);
		if(K==-1)wn=ksm(wn,mod-2);
		for(int j=0;j<n;j+=tmp){
			int w=1;
			for(int k=0;k<i;k++,w=(LL)w*wn%mod){
				int x=a[j+k],y=(LL)w*a[i+j+k]%mod;
				a[j+k]=(x+y)%mod;a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(K==-1){
		int inv=ksm(n,mod-2);
		for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
	}
}
void Inv(int *f,int *g,int len){
	static int A[N];
	if(len==1)return g[0]=ksm(f[0],mod-2),void();
	Inv(f,g,len>>1),copy(f,f+len,A);
	int x=log2(len<<1),n=1<<x;
	fill(A+len,A+n,0),fill(g+(len>>1),g+n,0);
	NTT(A,x,1),NTT(g,x,1);
	for(int i=0;i<n;i++)g[i]=(mod+2-(LL)A[i]*g[i]%mod)*g[i]%mod;
	NTT(g,x,-1),fill(g+len,g+n,0);
}
int a[N],b[N],fac[N];
int main(){
	freopen("dag_count.in","r",stdin);
	freopen("dag_count.out","w",stdout);
	int n=Getint(),x=ceil(log2(n+1));
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<(1<<x);i++)fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
	a[0]=1;
	for(int i=1;i<(1<<x);i++)
		a[i]=(((i&1)?-1:1)*(LL)ksm(fac[i],mod-2)%mod*ksm(ksm(qr2,(LL)i*i%(mod-1)),mod-2)%mod+mod)%mod;
	Inv(a,b,1<<x);
	cout<<(LL)b[n]*fac[n]%mod*ksm(qr2,(LL)n*n%(mod-1))%mod;
	return 0;
}