题解【SP1043】 GSS1 - Can you answer these queries I

题目描述

You are given a sequence $A_1, A_2, ..., A_n(|A_i|≤15007,1≤N≤50000)$.

A query is defined as follows:

$Query(x,y) = Max(a_i+a_{i+1}+...+a_j;x≤i≤j≤y)$.

Given $M$ queries, your program must output the results of these queries.

输入输出格式

输入格式

The first line of the input file contains the integer $N$.
In the second line, $N$ numbers follow.
The third line contains the integer $M$.
$M$ lines follow, where line $i$ contains $2$ numbers $x_i$ and $y_i$.

输出格式

Your program should output the results of the $M$ queries, one query per line.

输入输出样例

输入样例#1

输出样例#1

题意翻译

给出了序列 $A_1,A_2,…,A_n(a_i≤15007,1≤N≤50000)$。

查询定义如下：查询 $(x,y)=\max\{a_i+a_{i+1}+...+a_j;x≤i≤j≤y\}$。

给定$M$个查询，程序必须输出这些查询的结果，每行一个查询。

题解

$SPOJ$的$GSS$系列一共有$8$题，这$8$道题目都是有关数据结构的，与$Ynoi$类似。

这是$SPOJ$的$GSS$系列的第一题，考察的是用线段树求区间最大子段和 (本蒟蒻不会猫树) 。

众所周知，线段树有以下基本的$3$个操作：$pushup$、$bulid$和$getans$，这$3$个操作分别对应合并区间、建树的求答案。

我们尝试用这三种操作解决这道题：

首先，我们定义一个结构体：

struct Node

{

	int sum, lans, rans, ans;

} t[50005 << 2];

其中，$sum$表示区间和，$lans$表示最大前缀和，$rans$表示最大后缀和，$ans$表示区间内的最大子段和，我们的目标是求出$x$~$y$区间内的$ans$。

然后，我们分析，如何进行$pushup$操作。

易知，这个区间内的区间和就是它子区间的和加上它右子区间的和。

区间最大前缀和是它左子区间最大子段和,与左子区间和加上右子区间的最大前缀和的最大值，最大后缀和同理。

考虑如何合并区间最大子段和？

经过分析，我们得出：区间最大子段和就是$max($左子区间的最大子段和,右子区间的最大子段和,

左子区间的最大后缀+右子区间的最大前缀和$)$。

综上，我们就得出了$pushup$的代码：

inline void pushup(int x)

{

	t[x].sum = t[x << 1].sum + t[(x << 1) | 1].sum;//求出区间和

	t[x].lans = max(t[x << 1].lans, t[x << 1].sum + t[(x << 1) | 1].lans);//区间最大前缀和

	t[x].rans = max(t[(x << 1) | 1].rans, t[(x << 1) | 1].sum + t[x << 1].rans);//区间最大后缀和

	t[x].ans = max(max(t[x << 1].ans, t[(x << 1) | 1].ans), t[x << 1].rans + t[(x << 1) | 1].lans);//区间最大子段和

}

$build$操作与普通线段树的$build$操作一模一样。

下面放出$build$操作的代码：

void bulid(int s, int o, int p)

{

	if (s == o)//已经是叶子节点

	{

		t[p].sum = t[p].lans = t[p].rans = t[p].ans = gi();//输入并初始化叶子节点的成员

		return;

	}

	int mid = (s + o) >> 1;//找出区间中点

	bulid(s, mid, p << 1);//递归左子区间

	bulid(mid + 1, o, (p << 1) | 1);//递归右子区间

	pushup(p);//合并区间

}

$getans$操作同理。

下面放出$AC$代码：

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#include <cctype>

using namespace std;

inline int gi()

{

    int f = 1, x = 0; char c = getchar();

    while (c < '0' || c > '9') { if (c == '-') f = -1; c = getchar();}

    while (c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();}

    return f * x;

}

int n, m;

struct Node

{

	int sum, lans, rans, ans;

} t[50005 << 2];

inline void pushup(int x)//合并操作

{

	t[x].sum = t[x << 1].sum + t[(x << 1) | 1].sum;

	t[x].lans = max(t[x << 1].lans, t[x << 1].sum + t[(x << 1) | 1].lans);

	t[x].rans = max(t[(x << 1) | 1].rans, t[(x << 1) | 1].sum + t[x << 1].rans);

	t[x].ans = max(max(t[x << 1].ans, t[(x << 1) | 1].ans), t[x << 1].rans + t[(x << 1) | 1].lans);

}

void bulid(int s, int o, int p)//建树

{

	if (s == o)

	{

		t[p].sum = t[p].lans = t[p].rans = t[p].ans = gi();

		return;

	}

	int mid = (s + o) >> 1;

	bulid(s, mid, p << 1);

	bulid(mid + 1, o, (p << 1) | 1);

	pushup(p);

}

Node getans(int l, int r, int s, int o, int p)//求答案

{

	if (l <= s && r >= o)//如果包含区间

	{

		return t[p];//就直接返回

	}

	int mid = (s + o) >> 1;//求出中点

	if (l > mid) return getans(l, r, mid + 1, o, (p << 1) | 1);//如果左端点在中点右边，就递归右区间

	if (r <= mid) return getans(l, r, s, mid, p << 1);//如果右端点在中点左边，就递归左区间

	else

	{

		Node ans, a, b;

		a = getans(l, r, s, mid, p << 1), b = getans(l, r, mid + 1, o, (p << 1) | 1);//求出左区间和右区间的各项参数

		ans.sum = a.sum + b.sum;

		ans.ans = max(max(a.ans, a.rans + b.lans), b.ans);

		ans.lans = max(a.lans, a.sum + b.lans);

		ans.rans = max(b.rans, b.sum + a.rans);//合并答案

		return ans;//最后返回答案

	}

}

int main()//进入主函数

{

	n = gi();//输入节点个数

	bulid(1, n, 1);//建树

	m = gi();//输入询问个数

	for (int i = 1; i <= m; i++)

	{

		int x = gi(), y = gi();

		printf("%d\n", getans(x, y, 1, n, 1).ans);//求出答案

	}

	return 0;//结束

}