51Nod：活动安排问题（区间问题）

X轴上有N条线段，每条线段有1个起点S和终点E。最多能够选出多少条互不重叠的线段。（注：起点或终点重叠，不算重叠）。

例如：[1 5][2 3][3 6]，可以选[2 3][3 6]，这2条线段互不重叠。

输入

第1行：1个数N，线段的数量(2 <= N <= 10000)
第2 - N + 1行：每行2个数，线段的起点和终点(-10^9 <= S,E <= 10^9)

输出

输出最多可以选择的线段数量。

输入示例

3
1 5
2 3
3 6

输出示例

2

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct wzy{
	int start,end;
}p[11000];
int cmp(wzy u,wzy v)
{
	if(u.end==v.end) return u.start>v.start;//结束时间相同，选择开始时间晚的
	else  return u.end<v.end;//结束时间不同，选择结束早的
}
int main()
{
	int n,i,k;
	scanf("%d",&n);
	for(i=0;i<n;i++) scanf("%d%d",&p[i].start,&p[i].end);
	sort(p,p+n,cmp);
	int sum=1;
	for(i=1,k=p[0].end;i<n;i++)
	{
		if(p[i].start>=k)
		{
			sum++;
			k=p[i].end;
		}
	}
	printf("%d\n",sum);
	return 0;
}

详解（来自51Nod）：

有若干个活动，第i个开始时间和结束时间是[Si,fi)，只有一个教室，活动之间不能交叠，求最多安排多少个活动？

分析： 我们就是想提高教室地利用率，尽可能多地安排活动。
考虑容易想到的几种贪心策略：

（1） 开始最早的活动优先，目标是想尽早结束活动，让出教室。
然而， 这个显然不行，因为最早的活动可能很长，影响我们进行后面的活动。例如活动开始和结束时间分别为[0, 100), [1,2) ,[2, 3), [3, 4),[4,5]，安排［0，100)的这个活动之后，其他活动无法安排，可是最优解是安排除它外的4个活动。

（2） 短活动优先， 目标也是尽量空出教室。但是不难构造如下反例： [0,5) [5,10) [3, 7), 这里[3,7)最短，但如果我们安排了[3,7)，其它两个无法安排了。但是最优解显然是安排其它两个，而放弃[3,7)，可见这个贪心策略也是不行的。

（3） 最少冲突的活动优先， 既然上面安排活动是想减少冲突，那么如果我们优先安排冲突最少的活动可以么？至少从（1）和（2）看来，这个策略是有效的。真是对的么？ 尝试这个例子：

[0,2) [2,4) [4,6) [6,8)
[1,3) [1,3) [1,3) [3,5) [5,7) [5,7) [5,7)

看一下[0,2) 和3个活动冲突——3个[1,3)

[2,4)和4个活动冲突3个[1,3)和一个[3,5)
[4,6)和也和4个活动冲突3个[5,7)和一个[3,5)
[6,8)和3个活动冲突——3个[5,7)

下面[1,3)和[5,7)每个都和5个活动冲突，
而[3,5)只和两个活动冲突——[2,4)和[4,6)。

那按照我们的策略应该先安排[3,5), 可是一旦选择了[3,5)，我们最多只可能安排3个活动。
但明显第一行的4个活动都可以安排下来，所以这种策略也是不对的。

（4） 看似最不对的策略——结束时间越早的活动优先。这个策略是有效的，我们可以证明。假设最优解OPT中安排了m个活动，我们把这些活动也按照结束时间由小到大排序，显然是不冲突的。假设排好顺序后，这些活动是a(1) , a(2), a(3)….am

假设按照我们的贪心策略，选出的活动自然是按照结束时间排好顺序的，并且也都是不冲突的，这些活动是b(1), b(2) …b(n)

问题关键是，假设a(1) = b(1), a(2) = b(2)…. a(k) = b(k)，但是a(k+1) != b(k+1)，回答几个问题：

(1)b(k+1)会在a(k+2), a(k+3), …. a(m)中出现么？
不会。因为b(k+1)的结束时间是最早的，即f(b(k+1)) <= f(a(k+1)),而a(k+2), a(k+3), …. a(m)的开始时间和结束时间都在f(a(k+1))之后，所以b(k+1)不在其中。

(2)b(k+1)和a(1), a(2), …. a(k) 冲突么？
不冲突，因为a(1), a(2), …. a(k)就是b(1), b(2), …. b(k)

(3)b(k+1)和a(k+2), a(k+3), …. a(m)冲突么？
不冲突，因为f(b(k+1)) <= f(a(k+1))，而a(k+2), a(k+3), …. a(m)的开始时间都在f(a(k+1))之后，更在f(b(k+1))之后。

因此我们可以把a(k+1) 换成b(k+1)， 从而最优解和我们贪心得到的解多了一个相同的，经过一个一个替换，我们可以把最优解完全替换成我们贪心策略得到的解。 从而证明了这个贪心策略的最优性。