【CF900D】Unusual Sequences 容斥（莫比乌斯反演）

【CF900D】Unusual Sequences

题意：定义正整数序列$a_1,a_2...a_n$是合法的，当且仅当$gcd(a_1,a_2...a_n)=x$且$a_1+a_2+...+a_n=y$。给定x,y，求合法的序列总数。

x,y<=10^9。

题解：不难想到容斥，先不管gcd的限制，那么总方案数就是$2^{y-1}$。你可以理解为有y个1，除了第一个1，其余的要么加到上一个数中去，要么自己变成一个新数。

如果考虑gcd的限制呢？容斥一发即可。并且容斥系数就是我们常用的莫比乌斯函数。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;
int n,m,tot;
ll ans;
int p[10];
inline ll pm(ll x,ll y)
{
	ll z=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)	z=z*x%P;
		x=x*x%P,y>>=1;
	}
	return z;
}
void dfs(int x,int y,int z)
{
	if(x>tot)
	{
		ans=(ans+P+pm(2,n/y-1)*z%P)%P;
		return ;
	}
	dfs(x+1,y,z),dfs(x+1,y*p[x],-z);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	if(n%m)
	{
		puts("0");
		return 0;
	}
	n/=m;
	int i,t=n;
	for(i=2;i*i<=t;i++)	if(t%i==0)
	{
		p[++tot]=i;
		while(t%i==0)	t/=i;
	}
	if(t!=1)	p[++tot]=t;
	dfs(1,1,1);
	printf("%I64d",ans);
	return 0;
}