三维网格细分算法(Catmull-Clark subdivision & Loop subdivision)附源码
下图描述了细分的基本思想,每次细分都是在每条边上插入一个新的顶点,可以看到随着细分次数的增加,折线逐渐变成一条光滑的曲线。曲面细分需要有几何规则和拓扑规则,几何规则用于计算新顶点的位置,拓扑规则用于确定新顶点的连接关系。下面介绍两种网格细分方法:Catmull-Clark细分和Loop细分。
Catmull-Clark subdivision:
Catmull-Clark细分是一种四边形网格的细分法则,每个面计算生成一个新的顶点,每条边计算生成一个新的顶点,同时每个原始顶点更新位置。下图为Catmull-Clark细分格式的细分掩膜,对于新增加的顶点位置以及原始顶点位置更新规则如下:
1.网格内部F-顶点位置:
设四边形的四个顶点为v0、v1、v2、v3,则新增加的顶点位置为v = 1/4*(v0 + v1 + v2 + v3)。
2.网格内部V-顶点位置:
设内部顶点v0的相邻点为v1、v2,…,v2n,则该顶点更新后位置为,其中α、β、γ分别为α = 1 - β - γ。
3.网格边界V-顶点位置:
设边界顶点v0的两个相邻点为v1、v2,则该顶点更新后位置为v = 3/4*v0 + 1/8*(v1 + v2)。
4.网格内部E-顶点位置:
设内部边的两个端点为v0、v1,与该边相邻的两个四边形顶点分别为v0、v1、v2、v3和v0、v1、v4、v5,则新增加的顶点位置为v = 1/4*(v0 + v1 + vf1 + vf2) = 3/8*(v0 + v1) + 1/16*(v2 + v3 + v4 + v5)。
5.网格边界E-顶点位置:
设边界边的两个端点为v0、v1,则新增加的顶点位置为v = 1/2*(v0 + v1)。
效果:
function [VV, FF, S] = CC_subdivision(V, F, iter)
% Catmull_Clark subdivision
if ~exist('iter','var')
iter = ;
end
VV = V;
FF = F; for i = :iter
nv = size(VV,);
nf = size(FF,); O = outline(FF); original = :nv;
boundary = O(:,)';
interior = original(~ismember(original, boundary)); no = length(original);
nb = length(boundary);
ni = length(interior); %% Sv
Etmp = sort([FF(:,) FF(:,);FF(:,) FF(:,);FF(:,) FF(:,);FF(:,) FF(:,)],);
[E, ~, idx] = unique(Etmp, 'rows'); Aeven = sparse([E(:,) E(:,)], [E(:,) E(:,)], , no, no);
Aodd = sparse([FF(:,) FF(:,)], [FF(:,) FF(:,)], , no, no);
Aodd = Aodd + Aodd'; val_even = sum(Aeven,);
beta = ./(*val_even); val_odd = sum(Aodd,);
gamma = ./(*val_odd); alpha = - beta - gamma; Sv = sparse(no,no);
Sv(interior,:) = ...
sparse(:ni, interior, alpha(interior), ni, no) + ...
bsxfun(@times, Aeven(interior,:), beta(interior)./val_even(interior)) + ...
bsxfun(@times, Aodd(interior,:), gamma(interior)./val_odd(interior));
Sboundary = ...
sparse([O(:,);O(:,)],[O(:,);O(:,)],/,no,no) + ...
sparse([O(:,);O(:,)],[O(:,);O(:,)],/,no,no);
Sv(boundary,:) = Sboundary(boundary,:); %% Sf
Sf = / .* sparse(repmat((:nf)',1 ,4), FF, 1);
i0 = no + (:nf)'; %% Se
flaps = sparse([idx;idx], ...
[FF(:,) FF(:,);FF(:,) FF(:,);FF(:,) FF(:,);FF(:,) FF(:,)], ...
);
onboundary = (sum(flaps,) == );
flaps(onboundary,:) = ; ne = size(E,);
Se = sparse( ...
[:ne :ne]', ...
[E(:,); E(:,)], ...
[onboundary;onboundary].*/ + ~[onboundary;onboundary].*/, ...
ne, ...
no) + ...
flaps*/; %% new faces & new vertices
i1 = no + nf + (:nf)';
i2 = no + *nf + (:nf)';
i3 = no + *nf + (:nf)';
i4 = no + *nf + (:nf)'; FFtmp = [i0 i4 FF(:,) i1; ...
i0 i1 FF(:,) i2; ...
i0 i2 FF(:,) i3; ...
i0 i3 FF(:,) i4]; reidx = [(:no)'; no+(1:nf)'; no+nf+idx];
FF = reidx(FFtmp); S = [Sv; Sf; Se];
VV = S*VV;
end
end
Loop subdivision:
Loop细分是一种三角形网格的细分法则,它按照1-4三角形分裂,每条边计算生成一个新的顶点,同时每个原始顶点更新位置。下图为Loop细分格式的细分掩膜,对于新增加的顶点位置以及原始顶点位置更新规则如下:
1.网格内部V-顶点位置:
设内部顶点v0的相邻点为v1、v2,…,vn,则该顶点更新后位置为,其中
。
2.网格边界V-顶点位置:
设边界顶点v0的两个相邻点为v1、v2,则该顶点更新后位置为v = 3/4*v0 + 1/8*(v1 + v2)。
3.网格内部E-顶点位置:
设内部边的两个端点为v0、v1,相对的两个顶点为v2、v3,则新增加的顶点位置为v = 3/8*(v0 + v1) + 1/8*(v2 + v3)。
4.网格边界E-顶点位置:
设边界边的两个端点为v0、v1,则新增加的顶点位置为v = 1/2*(v0 + v1)。
效果:
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