题解【luogu P2421 bzoj P1407 [NOI2002]荒岛野人】

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题目大意：给定\(n\)组\(C_i, P_i, L_i\)，求最小的\(M\)使得对于任意的\(i,j (1 \leq i, j \leq n)\)

\[C_i + P_i \times x \equiv C_j + P_j \times x \pmod M
\]

不成立

（这里的不成立指的是无解或者解出来的 \(x<\min(L_i,L_j)\),即相遇之前有一人死掉

其中\(x\)为正整数（就是走了\(x\)天相遇)

分析

从小到大枚举\(M\)（注意没有单调性不能二分）

原式可变形为

\[C_i + P_i \times x = C_j + P_j \times x +M \times y
\]

\[(P_i-P_j)\times x - M \times y = C_j-C_i
\]

若无解，则此时的\(M\)为所求

若有解，用扩展欧几里得解出该方程的最小解\(x_{min}\)。

如果\(x_{min}<\min(L_i,L_j)\)，问题解决；否则继续枚举

代码:

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

int n, C[20], p[20], l[20], mx = -1;
inline int gcd(int a, int b)
{
    if(!b) return a;
    else return gcd(b, a % b);
}
inline void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(!b) { x = 1, y = 0; return ; }
    exgcd(b, a % b, x, y);
    int t = x; x = y, y = t - (a / b) * y;
}
inline bool check(int m)
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = i + 1; j <= n; j++)
        {
            int a = p[j] - p[i], b = m, c = C[i] - C[j], x = 0, y = 0, g = gcd(a, b);
            if(c % g == 0)
            {
                a /= g, b /= g, c /= g;
                exgcd(a, b, x, y);
                b = abs(b);
                x = ((x * c) % b + b) % b;
                if(!x) x += b;
                if(x <= min(l[i], l[j])) return false;
            }
        }
    return true;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d%d%d", &C[i], &p[i], &l[i]);
        mx = max(mx, C[i]);
    }
    for(int i = mx;;i++)
        if(check(i))
        {
            printf("%d\n", i);
            return  0;
        }
    return 1；//防抄
}