【BZOJ3240】【NOI2013】矩阵游戏（数论）

【BZOJ3240】【NOI2013】矩阵游戏（数论）

题面

BZOJ

题解

搞什么矩阵十进制快速幂加卡常？

直接数学推导不好吗？

首先观察如何从每一行的第一个推到最后一个

\(f[i]=a·f[i-1]+b\)

利用数列的一系列知识

我们设\(f[i]+x=a(f[i-1]+x)\)

解出\(x=\frac{b}{a-1}\)

所以\(f[m]=a^{m-1}(f[1]+x)-x\)

也就是\(f[m]=a^{m-1}·f[1]+(a^{m-1}-1)x\)

再把它变到下一行去

\(f'[1]=c·f[m]+d\)

\(f'[1]=ca^{m-1}·f[1]+c(a^{m-1}-1)x+d\)

这样子，相当于\(A=ca^{m-1}\),\(B=c(a^{m-1}-1)x+d\)

这样子就是一个重新开始的上面推导的数列了

但是需要注意，当\(a\)和\(A\)为\(1\)的时候需要特殊判断一下

所以就是分类讨论一下就好了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 1000100
#define MOD 1000000007
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int n,m,A,B,C,D;
char N[MAX],M[MAX];
int get(char *c,int Mod)
{
	int x=0;
	for(int i=1,l=strlen(c+1);i<=l;++i)
		x=(1ll*x*10+c[i]-48)%Mod;
	return x;
}
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int n1,n2,m1,m2;
int main()
{
	scanf("%s%s",N+1,M+1);
	A=read();B=read();C=read();D=read();
	int ans=1;
	m2=get(M,MOD);m2=(m2+(MOD-1))%MOD;
	m1=get(M,MOD-1);m1=(m1+(MOD-2))%(MOD-1);
	n1=get(N,MOD-1);n2=get(N,MOD);
	if(A!=1)
	{
		int x=1ll*B*fpow(A-1,MOD-2)%MOD;
		B=(1ll*C*(fpow(A,m1)-1+MOD)%MOD*x%MOD+D)%MOD;
		A=1ll*C*fpow(A,m1)%MOD;
		if(A!=1)
		{
			int x=1ll*B*fpow(A-1,MOD-2)%MOD;
			ans=(1ll*(1+x)*fpow(A,n1))%MOD;
			ans=(ans+MOD-x)%MOD;
			ans=(ans+MOD-D)*1ll*fpow(C,MOD-2)%MOD;
			printf("%d\n",ans);
			return 0;
		}
		else
		{
			ans=(ans+1ll*B*n1)%MOD;
			ans=(ans+MOD-D)*1ll*fpow(C,MOD-2)%MOD;
			printf("%d\n",ans);
			return 0;
		}
	}
	else
	{
		A=C;B=(1ll*m2*B%MOD*C%MOD+D)%MOD;
		if(A!=1)
		{
			int x=1ll*B*fpow(A-1,MOD-2)%MOD;
			ans=(1ll*(1+x)*fpow(A,n1))%MOD;
			ans=(ans+MOD-x)%MOD;
			ans=(ans+MOD-D)*1ll*fpow(C,MOD-2)%MOD;
			printf("%d\n",ans);
			return 0;
		}
		else
		{
			ans=(ans+1ll*B*n2)%MOD;
			ans=(ans+MOD-D)*1ll*fpow(C,MOD-2)%MOD;
			printf("%d\n",ans);
			return 0;
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}