Codeforces Round #411 (Div. 1) D. Expected diameter of a tree
题目大意:给出一个森林,每次询问给出u,v,问从u所在连通块中随机选出一个点与v所在连通块中随机选出一个点相连,连出的树的直径期望(不是树输出-1)。(n,q<=10^5)
解法:预处理出各连通块的直径和各点到连通块内一点的最远距离d[x](树形dp+换根),询问若在同一块内输出-1,否则若随机选出两点x,y,直径为max(d[x]+d[y]+1,x所在块直径,y所在块直径),我们把同一连通块内的d排序,枚举小的连通块中的d,到大的连通块中二分d[x]+d[y]+1<=max(x所在块直径,y所在块直径)(或者记下大的块中每种权值出现次数,从max直径开始d[x]递增d[y]递减,复杂度少一个log并仍然只与小的块的大小相关),记忆下相同询问,这样我们枚举小的次数最大只有$O(n^{1.5})$(每次我们复杂度只跟小的有关,那么最劣情况只有每次两个块大小相等,假设所有联通块大小均为k,我们的复杂度是$O(k*min(q,(\frac{n}{k})^2))$,容易证明复杂度最大是$O(n^{1.5})$)。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
inline int read()
{
int x;char c;
while((c=getchar())<''||c>'');
for(x=c-'';(c=getchar())>=''&&c<='';)x=(x<<)+(x<<)+c-'';
return x;
}
#define MN 100000
#define p(x,y) make_pair(x,y)
struct edge{int nx,t;}e[MN*+];
int f[MN+],h[MN+],en,d[MN+],d2[MN+],mx[MN+];
vector<double> v[MN+];
map<pair<int,int>,double> mp;
int gf(int k){return f[k]?f[k]=gf(f[k]):k;}
inline void ins(int x,int y)
{
e[++en]=(edge){h[x],y};h[x]=en;
e[++en]=(edge){h[y],x};h[y]=en;
}
void upd(int x,int y)
{
if(y>d[x])d2[x]=d[x],d[x]=y;
else if(y>d2[x])d2[x]=y;
}
void dp(int x,int fa)
{
for(int i=h[x];i;i=e[i].nx)if(e[i].t!=fa)
dp(e[i].t,x),upd(x,d[e[i].t]+);
mx[gf(x)]=max(mx[gf(x)],d[x]+d2[x]);
}
void dfs(int x,int fa)
{
v[gf(x)].push_back(d[x]);
for(int i=h[x];i;i=e[i].nx)if(e[i].t!=fa)
upd(e[i].t,d[e[i].t]+==d[x]?d2[x]+:d[x]+),dfs(e[i].t,x);
}
int main()
{
int n,m,q,x,y,i,j,l,r,mid,res;double ans;
n=read();m=read();q=read();
while(m--)ins(x=read(),y=read()),f[gf(x)]=gf(y);
for(i=;i<=n;++i)if(gf(i)==i)
{
dp(i,i);dfs(i,i);v[i].push_back();
sort(v[i].begin(),v[i].end());
for(j=;j<v[i].size();++j)v[i][j]+=v[i][j-];
}
while(q--)
{
if((x=gf(read()))==(y=gf(read()))){puts("-1");continue;}
if(x>y)swap(x,y);
if(mp[p(x,y)]){printf("%.10lf\n",mp[p(x,y)]);continue;}
if(v[x].size()>v[y].size())swap(x,y);
for(i=,ans=;i<v[x].size();++i)
{
for(l=,r=v[y].size()-,res=;l<=r;)
{
mid=l+r>>;
if(v[x][i]-v[x][i-]+v[y][mid]-v[y][mid-]+<=max(mx[x],mx[y]))
res=mid,l=mid+;
else r=mid-;
}
ans+=(double)res*max(mx[x],mx[y])+
(v[y].size()--res)*(v[x][i]-v[x][i-]+)+v[y][v[y].size()-]-v[y][res];
}
if(x>y)swap(x,y);
printf("%.10lf\n",mp[p(x,y)]=ans/(v[x].size()-)/(v[y].size()-));
}
}
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