51 Nod 1134 最长递增子序列 （动态规划基础）

原题链接：1134 最长递增子序列

题目分析：长度为  的数列  有多达  个子序列，但我们应用动态规划法仍可以很高效地求出最长递增子序列（）。这里介绍两种方法。

先考虑用下列变量设计动态规划的算法。这里设输入数列的第一个数为  。

	一位数组， 为由  到  中的部分元素构成且最后选择了  的  的长度。
	一位数组， 为由  到  中的部分元素构成且最后选择了  的  的倒数第二个元素的位置（记录当前以得出的最长递增子序列中，各元素前面一个元素的位置）

有了这些变量，动态规划法求  的算法便可以这样实现。

LIS()
    L[0] = 0
    A[0] = 0    // 选择小于 A[1] 到 A[n] 中任意一个数的值进行初始化
    P[0] = -1
    for i = 1 to n
        k = 0
        for j = 0 to i - 1
            if A[j] < A[i] && L[j] > L[k]
                k = j
        L[i] = L[k] + 1  // 满足 A[j] < A[i] 且 L[j] 最大的 j 即为 k
        P[i] = k         // LIS 中 A[i] 的前一个元素为 A[k]
            

上述动态规划法的复杂度为 ，无法在限制时间内解开  的问题。因此我们需要考虑效率更高的解法。

实际上，只要把动态规划与二分搜索结合起来，就能进一步提高求解最长递增子序列的效率。这种算法要用到下列变量：

	一维数组， 表示长度为  的递增子序列的末尾元素最小值
	整数，表示前  个元素构成的最长递增子序列的长度

LIS()
    L[0] = A[0]
    length = 1
    for i = 1 to n - 1
        if L[length] < A[i]
            L[length++] = A[i]
        else
            L[j] (j = 0, 1, ..., length - 1) 中第一个大于等于 A[i] 的元素 = A[i]

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 100000
using namespace std;

long long n, A[MAX + 1], L[MAX];

int lcs() {
    L[0] = A[0];
    int length = 1;

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (L[length - 1] < A[i]) {
            L[length++] = A[i];
        } else {
            *lower_bound(L, L + length, A[i]) = A[i];
        }
    }
    return length;
}

int main() {
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> A[i];

    cout << lcs() << endl;

    return 0;
}