算法5-6：Kd树

问题

给定一系列的点。和一个矩形。求矩形中包括的点的数量。

解答

这个问题能够通过建立矩阵来进行求解。首先将一个空间切割成矩阵，将点放置在相应的格子中。再计算矩形覆盖的格子。再推断格子中的点是否包括在矩形中

这样的方法的问题是，可能这些点全都集中在一个格子中。

这样的情况下算法的效率比較低。

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这样的问题在地图的应用中很常见。

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因此须要引入2D树的概念，使得矩阵的分解会依据点的密度自己主动适应。

2D树

下图展示了2D树的样子。

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2D树的构建

每次增加一个点时，将平面分成两半。

增加第二个点时。因为第二个点在第一个点的右側，因此在第一个点的右子节点创建一个新的节点。因为父节点是竖直的，所以子节点须要水平切割。

添加很多其它的点之后。就会形成例如以下的二叉树。

搜索操作

搜索矩形中包括的点。

搜索的时候须要从根节点開始。

从根节点知道，矩形在节点的左側。因此仅仅须要搜索左側就可以。到了点3。因为矩形覆盖了两边的区域。因此须要搜索两边。

一直迭代循环，直到节点搜索完成为止。

这样的算法的平均复杂度是logN。最坏复杂度是sqrtN。

问题

给定一系列点。和一个待測点。求与待測点近期的点。

用2D树的数据结构时，有时能够将搜索范围缩小到一半。

Kd树就是2D树的推广形式。处理二维以上的数据时很高效。

N体模拟算法

关键思想就是对于单个质点来说，将距离较远的那些点看成一个质点。

详细实现能够參考论文

http://www.cs.montana.edu/courses/spring2005/580/papers/0906008.pdf