Codeforces 372 B. Counting Rectangles is Fun

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题目大意 :

给出一个 \(n \times m\) 的 \(01\) 矩阵，有 \(q\) 次询问，每次给出一个矩形 $ x_1, x_2, y_1, y_2$ ，求有多这个矩形的有多少个全 \(0\) 子矩形

\(1 \leq n, m \leq 50, 1 \leq q \leq 3 \times 10^5\)

解题思路 :

设 \(g(x, y, l, r)\) 表示以 \(x\) 为底，满足上边界 \(\leq y\) , 左边界 \(\geq l\) ，右边界 \(\leq r\) 的矩形的数量

那么对于一组询问 \(x_1, x_2, y_1, y_2\)，\(Ans = \sum_{i = x_1}^{x_2} g(x_2, x_1, y_1, y_2)\)

所以直接考虑怎么求 \(g(x, y, l, r)\) 即可，问题转化为上下左右边界已经框好，求有多少个贴着下边界的全 \(0\) 子矩形

考虑维护一条从左边界到右边界的扫描线，每次计算当前的右端点向左延伸形成的子矩形的个数

考虑对于当前右端点 \(r\) 有一个左端点 \(l\), 设 \(len(x, y)\) 表示从点 \((x, y)\) 向上能延伸的 \(0\) 的个数

那么 \(l, r\) 作为左右端点能形成的全 \(0\) 子矩形的个数就是 \(\min(len(x, j))\ \ l \leq j \leq r\)

观察发现，对于每一个区间的答案其实就是这个区间 \(len\) 的最小值，直接枚举左端点并用单调栈维护即可

此时求 \(g\) 的复杂度是 \(O(n^5)\) 级别，由于 \(n, m\) 很小只有 \(40\) 所以可以接受，之后的询问可以直接预处理答案，总复杂度是 \(O(n^5 + q)\)

```cpp
/*program by mangoyang*/
#include
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a)
inline void read(T &x){
int f = 0, ch = 0; x = 0;
for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48;
if(f) x = -x;
}
#define N (45)
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define x2 xx2
#define y2 yy2
char s[N][N];
int f[N][N][N][N], g[N][N], xx[N], ff[N], n, m, q, top;
int main(){
read(n), read(m), read(q);
for(int i = 1; i = 1; k--, tot++)
if(s[k][j] == '1') break;
g[i][j] = tot;
}
for(int x1 = 1; x1 = 1; i--) res += (xx[i] - xx[i-1]) * ff[i];
f[x1][y1][x2][y2] = res;
}
}
for(int x1 = 1; x1 x1) f[x1][y1][x2][y2] += f[x1][y1][x2-1][y2];
for(int i = 1, x1, x2, y1, y2; i
</font>