洛谷P1445 [Violet] 樱花

题目背景

我很愤怒

题目描述

求方程 1/X+1/Y=1/(N!) 的正整数解的组数，其中N≤10^6。

解的组数，应模1e9+7。

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输入一个整数N

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输出答案

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输入样例#1：

1439

输出样例#1：

102426508

Solution

极其恶心的一道题...

看到这种题肯定是需要化简式子的,因为出题人不会好到给你一个好做的式子

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}
\]

\[\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!}
\]

\[xy=(n!)\times (x+y)
\]

一个骚操作,两边同时加上$(n!)^2$,为什么,因为方便因式分解...

\[(n!)^2-(n!)\times (x+y)+xy=(n!)^2
\]

然后因式分解

\[(n!-x)\times (n!-y)=(n!)^2
\]

令$a=(n!-x),b=(n!-y)$,因为$(n!)^2$是确定的,所以确定了$a$,就可以确定$b$,也就可以确定$x,y$了

那么a的方案数是多少?因为$a$是$(n!)^2$的因子,所以$a$的取值的方案数就是$(n!)^2$的因子的方案数

然后根据唯一分解定理

\[n!=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times ...\times p_m^{c_m}
\]

\[(n!)^2=p_1^{2\times c_1}\times p_2^{2\times c_2}\times ...\times p_m^{2\times c_m}
\]

由于每个质因子$p_i$都有$2\times c_i+1$种取值,所以

\[ans=(2\times c_1+1)\times (2\times c_2 +1)\times ...\times(2\times c_m+1)
\]

那么最后问题就转化成了对$n!$进行分解质因数,并求质因数的个数

暴力对$1-n$每个数分解质因数,再合并复杂度过高,为$O(n\sqrt n)$

由于$n!$的每个质因子都不超过n,所以我们可以预处理$1-n$内所有质数p,再考虑$n!$内一共有多少个质因子p

我们可以对于在线性筛质数的过程中同时处理一下n以内每个数的最小质因子$p$,然后统计这个数的贡献,在$1-n$中至少包含一个质因子$p$的有$\lfloor\frac{n}{p}\rfloor$,至少包含两个质因子p的有$\lfloor\frac{n}{p^2}\rfloor$...

那么$n!$中质因子$p$的个数就是

\[\lfloor\frac{n}{p}\rfloor+\lfloor\frac{n}{p^2}\rfloor+...+\lfloor\frac{n}{p^{log_{p}{n}}}\rfloor
\]

对于每个质因子,我们只需要$log\ n$的时间来求解,所以总复杂度是$O(n\ log\ n)$的

Code

#include<bits/stdc++.h>

#define rg register

#define il inline

#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))

#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))

#define lol long long

#define in(i) (i=read())

using namespace std;

const lol N=1e6+10,mod=1e9+7;

lol read() {

	lol ans=0,f=1; char i=getchar();

	while(i<'0' || i>'9') {if(i=='-') f=-1; i=getchar();}

	while(i>='0' && i<='9') ans=(ans<<1)+(ans<<3)+i-'0',i=getchar();

	return ans*=f;

}

lol n,cnt,ans=1;

lol g[N],prime[N],c[N];

void init() {

    memset(g,0,sizeof(g));

    for(int i=2;i<=n;i++) {

        if(!g[i]) g[i]=i,prime[++cnt]=i;

        for(int j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=n;j++) {

            g[i*prime[j]]=prime[j];

            if(i%prime[j]==0) break;

        }

    }

}

int main()

{

    in(n); init();

    for(int i=1;i<=n;i++)

        for(int j=i;j!=1;j/=g[j]) c[g[j]]++;

    for(int i=1;i<=n;i++) ans=ans*(c[i]*2+1)%mod;

    cout<<ans<<endl;

}