[BeiJingWc2008]Gate Of Babylon

《基尔伽美修》是人类历史上第一部英雄史诗，两河流域最杰出的文学作品之一。作品讲述了基尔伽美修一生的传
奇故事。在动画Fate／staynight中，基尔伽美修与亚瑟王等传说中的英雄人物一起出现在了现实世界，展开了一
场惊天地、泣鬼神的战斗一·在记载于12块泥板的史诗中，基尔伽美修与同伴安吉杜一起降伏了森林的守护者——
神兽洪芭芭，成为地上最强的王者，同时将世间所有财宝收归手中。王之财宝(GateofBabylon)成为Fate中金皮卡
（基尔伽美修的外号…）炫耀的资本……一天金皮卡突发奇想：如果从自己无尽的财宝里面，随便抽不超过M件宝
具出来砸死敌人的话。一共有多少种搭配方法呢一一？假设金皮卡一共有N种不同类型的宝具，大部分类型的宝具
都有无限多，但其中T种超级神器的数量是有限的。设第i种超级神器的数量不超过Bi件。若相同类型的宝具数量相
同，则认为是相同的搭配方案。金皮卡知道方案数会很大，从小数学成绩就好的他挑选了一个质数P，请你帮他计
算一下方案数模P后的余数。注意，一件也不选也是一种方案。
Input

第一行包含4个整数，分别为N，T，M，P
之后T行，每行一个鏊数，代表Bi
N，M≤10^9，P≤10^5，Bi≤10^9
0≤T≤N，M>O，Bi>0，T≤15
Output

仅包含一个整数，即方案数模P后的余数。
Sample Input
2 1 10 13
3
Sample Output
12

【样例说明1】
只有一种超级神器，数量不超过3
当不选择超级神器时，另一种宝具可以挑选0到10件，共11种方案
当选择1件神器出来时，另一种宝具可以挑选0到9件，共10种方案
当挑选2件神器时，共9种方案
挑选3件神器时，共8种方案
一共有11+10+9+8=38种方案，38mod13=12，于是答案等于12

Main idea
　　有若干个没有限制的道具，以及T个有限制个数的道具，取出m个，求方案数。
Solution
　　首先，看到有限制的只有15个，因此可以考虑使用容斥原理：Ans=全部没有限制的方案-有1个超过限制的方案数+有2个超过限制的方案数-有3个超过限制的方案数…。
　　以此类推。我们先考虑没有限制的，在m组无限制的数中选n个的方案数，显然就是C(n+m-1,n)。
　　因为这道题是要求不超过m的方案数，也就是那么运用加法原理，发现答案也就是C(n+0-1,0)+C(n+1-1,1)+C(n+2-1,2)+...+C(n+m-1,m)=C(n+m,m)。
　　然后考虑有限制的情况，有一个超过限制直接用总数减去（这个的限制+1)就是当前的总数，相当于强制要选限制+1个为空。
　　然后只要DFS，记录到当前为止选了几个，答案要记是b[i]+1,判断加减，最后累加答案。
　　最后，n、m过大，发现p是一个质数，所以可以用Lucas定理：Lucas(n,m,p)=Lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p)，其中C(n%p,m%p)求的时候要用到乘法逆元。

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;  

const int ONE=1000001;

int n,T,m,MOD;
long long Ans;
long long Jc[ONE];
int b[ONE];

int get()
{
        int res,Q=1;    char c;
        while( (c=getchar())<48 || c>57)
        if(c=='-')Q=-1;
        if(Q) res=c-48;
        while((c=getchar())>=48 && c<=57)
        res=res*10+c-48;
        return res*Q;
}

long long Quickpow(int a,int b,int MOD)
{
        long long res=1;
        while(b)
        {
            if(b&1) res=res*a%MOD;
            a=(long long)a*a%MOD;
            b/=2;
        }
        return res;
}

int C(int m,int n)
{
        if(m<n) return 0;
        int up=Jc[m]%MOD;
        int down=(long long)Jc[m-n]*Jc[n]%MOD;
        return (long long)up*Quickpow(down,MOD-2,MOD)%MOD;
}

int Lucas(int n,int m,int MOD)
{
        long long res=1;
        if(n<m) return 0;
        while(n && m)
        {
            res=res*C(n%MOD,m%MOD)%MOD;
            n/=MOD; m/=MOD;
        }
        return res;
}

void Dfs(int len,int PD,int val)
{
        if(len==T+1)
        {
            Ans+=PD*Lucas(n+m-val,m-val,MOD);
            Ans+=MOD;
            Ans%=MOD;
            return;
        }
        Dfs(len+1,PD,val);
        Dfs(len+1,-PD,val+b[len]+1);
}

int main()
{
        n=get();    //n种物品
		T=get();    //t种特殊的
		m=get();    //取出m个
		MOD=get();  //对答案取mod
        Jc[0]=1;
		for(int i=1;i<=MOD;i++)
		    Jc[i]=(long long)Jc[i-1]*i%MOD;
        for(int i=1;i<=T;i++)
        b[i]=get();
        Dfs(1,1,0);
        printf("%d",Ans);
}

/*
input
3 2 10 10007
3
4
output
150
手动算一下
C(n+m,m)
没有任何限制的时候，其实就是方程
x+y+z<=10(注意是<=10)
n=3,m=10
C(13,3)=286
第一种不满足条件,即x>=4
则方程变为x+y+z<=6
其方案数为C(3+6,3)=84
第一种不满足条件,即y>=5
则方程变为x+y+z<=5
其方案数为C(3+5,3)=56
这两种要减去之
再加上多减的则方程
x+y+z<=10-4-5=1的解
共C(3+1,3)=4
于是结果为286-84-56+4=150
*/