题解:BZOJ 1009 HNOI2008 GT考试 KMP + 矩阵
原题描述:
阿申准备报名参加GT考试,准考证号为N位数 X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai& lt;=9)有M位,不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为0
分析:
吐槽:这道题的细节问题差点坑死我。
一开始这道题想了个DP,但是状态转移太恶心。
那我们换一个思路,先用KMP构造出A的一个自动机。
然后这道题就转化成了在自动机上跑啊跑,跑N条边都没跑到终态(Am)的路径数。
这样,我们就把这道题转化成了一个经典问题:在一个有向图上,从s到t,经过N条边的路径数。
矩阵快速幂即可解决。
不会做的个经典问题的话,请看下面的讲解:
/*
这个问题我们可以用DP解决,方程为:
DP[i][j][k] = DP[i][p][k - 1] * DP[p][j][k - 1];
然后,显然,我们可以利用滚动数组。
DP[i][j] = DP[i][p] * DP[p][j];
然后,然后,你发现了什么?
这不是矩阵乘法么!
*/
具体实现过程:
1. 求得A的Next数组。
2. 根据转移图构造矩阵M:i能转移到j则,M[i][j] ++;
(由于Am是终态,所以可以不向Am连边,常数优化)
3. C = M ^ n;
4. 答案为for(int I = 0;I < m;I ++) ans +=C[0][i];
ACCode:
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std; int N,M,K; const int maxm = 30; struct Matrix
{
int a[maxm][maxm],n;
Matrix(int n,int x) : n(n)
{
for(int i = 0;i < n;i ++) for(int j = 0;j < n;j ++) a[i][j] = i == j ? x : 0;
}
Matrix operator * (const Matrix &b)
{
Matrix c(n,0);
for(int i = 0;i < n;i ++)
for(int j = 0;j < n;j ++)
for(int k = 0;k < n;k ++)
(c.a[i][j] += ((a[i][k] * b.a[k][j]) % K)) %= K;
return c;
}
}; Matrix pow_mod(Matrix &a,int b)
{
Matrix c(a.n,1);
for(; b ;b >>= 1)
{
if(b & 1) c = c * a;
a = a * a;
}
return c;
}
int A[maxm],f[maxm];
Matrix m(maxm,0); void getNext()
{
for(int i = 1;i < M;i ++)
{
int j = f[i];
while(j && A[i] != A[j]) j = f[j];
f[i + 1] = A[i] == A[j] ? j + 1 : 0;
}
} char str[maxm]; int main()
{
scanf("%d%d%d\n%s",&N,&M,&K,str);
for(int i = 0;i < M;i ++) A[i] = str[i] - '0';
getNext();
m.n = M;
for(int i = 0;i < M;i ++)
for(int j = 0;j < 10;j ++)
{
int k = i;
if(A[i] == j) m.a[i][i + 1] ++;
else
{
while(k && A[k] != j) k = f[k];
if(A[k] == j) k ++;
m.a[i][k] ++;
}
}
Matrix c = pow_mod(m,N);
int ans = 0;
for(int i = 0;i < M;i ++) (ans += c.a[0][i]) %= K;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
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