「JLOI2014」聪明的燕姿

传送门

Luogu

解题思路

很容易想到直接构造合法的数，但是这显然是会T飞的。

我们需要考虑这样一件事：

对于一个数 \(n\)，对其进行质因数分解：

\[n=\sum_{i=1}^x p_i^{c_i}
\]

那么就会有:

\[\sigma(n)=\prod_{i=1}^x \sum_{j=1}^{c_i}p^j
\]

可以证明 \(\sigma(n)\) 和 \(n\) 同级，所以这个质因子 \(p_i\le \sqrt{S}\)，所以我们可以直接爆搜出来所有小于 \(\sqrt{S}\) 的质数，特判一下每一层dfs时的 \(S-1\) 是否为质数，然后算答案。

细节注意事项

• 爆搜题，你们懂得。。。

参考代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <ctime>
#define rg register
using namespace std;
template < typename T > inline void read(T& s) {
	s = 0; int f = 0; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) f |= c == '-', c = getchar();
	while (isdigit(c)) s = s * 10 + (c ^ 48), c = getchar();
	s = f ? -s : s;
}

int vis[50000], num, prime[50000];
int cnt, ans[500000];

inline void seive() {
	vis[1] = 1;
	for (rg int i = 2; i < 50000; ++i) {
		if (!vis[i]) prime[++num] = i;
		for (rg int j = 1; j <= num && i * prime[j] < 50000; ++j) {
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

inline bool isprime(int x) {
	if (x <= 1) return 0;
	if (x == 2) return 1;
	for (rg int i = 2; i * i <= x; ++i)
		if (x % i == 0) return 0;
	return 1;
}

inline void dfs(int x, int i, int s) {
	if (x == 1) { ans[++cnt] = s; return; }
	if (isprime(x - 1) && x > prime[i]) ans[++cnt] = s * (x - 1);
	for (rg int j = i; prime[j] * prime[j] <= x; ++j) {
		int last = prime[j], sum = prime[j] + 1;
		for (; sum <= x; last *= prime[j], sum += last)
			if (x % sum == 0) dfs(x / sum, j + 1, s * last);
	}
}

inline void solve(int x) {
	if (x == 1) { puts("1"), puts("1"); return ; }
	cnt = 0, dfs(x, 1, 1);
	printf("%d\n", cnt);
	sort(ans + 1, ans + cnt + 1);
	for (rg int i = 1; i <= cnt; ++i)
		printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == cnt]);
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
 	freopen("in.in", "r", stdin);
#endif
	seive();
	int n;
	while (scanf("%d", &n) != EOF) solve(n);
	return 0;
}

完结撒花 \(qwq\)