<强化学习>无模型下计算给定策略对应的价值函数，Model free Prediction，评估一个给定策略的表现

一、Intro

　　Prediction只是评估给定策略的表现，直白的说它是找 “在环境ENV下，AGENT按照给定的策略pai，AGENT的价值函数”。

　　这篇blog只介绍三种计算方法，没有涉及到 “求取ENV下的最优AGENT”！

　　对于事先已经给出了ENV，也就是说我们有完整的MDP，知道所有的state，也知道从这到那、从那到这的reward，可以在代码的开头就定义State表和reward表，这就是model-based问题，只要使用贝尔曼方程和贝尔曼最优方程迭代更新找到最优的value function V*和最优的policy pai*即可。

　　而大多数情况下ENV是不会给你的。只把你扔到一个陌生的环境中自己去探索去学习。也就是说我们不知道在这个ENV下总共有哪几种state，不知道离开这个state进入那个state会得到多少reward。所以！state要靠自己去探索鉴定，reward只知道最后输赢的时候的reward，这里我们就采用了model free算法了。

　　传统的model free算法有三种：

————MC

————TD

————TD(lamda)

在model free Prediction这里，三种方法相同之处是：

使用固定的策略pai作为控制策略进行探索，获得多条episode的数据（这里的episode有的是以终止状态S_T为结尾的，有的不是）；

基于大量episode的数据求取所有出现过的状态的价值预测的均值，来代表策略pai对应的状态价值函数（V(s) → vπ(s) as N(s) →∞）

二、 MC方法

蒙特卡洛方法直接使用一条条episode的经验。value<——mean return。

对于同一个状态在一个episode中多次出现，分为首访蒙特卡洛和每访蒙特卡洛。首访蒙特卡洛是只考虑状态的第一次出现，而每访蒙特卡洛是每次都要计入。

使用渐进更新：

其实就是采样取均值，使用样本估计全局。基于大数定理当采样数足够大时均值结果就趋于于真实结果了。

三、 TD方法

时序差分方法直接使用一条条episode的经验。value<——mean return。

#TD learns from incomplete episodes, by bootstrapping

#TD updates a guess towards a guess

TD的更新式是这样的： V(St) ← V(St) + α( Rt+1 + γV(St+1)  −V(St))，

MC的更新式是这样的：V(St) ← V(St) + α(          Gt               −V(St))

虽然两种方法都是使用大量episode的均值来估取value，但

可以看出，MC是使用完整采样来渐进更新求取均值，而TD是使用不完全采样来渐进更新求取均值。

 也正因此，TD适用于 “持续环境” ； MC受限于 “有终止态环境”                    //例如围棋alphaGo使用蒙特卡洛树搜索，围棋就是一个典型的“有终止态环境”

TD有两个概念 “TD target”和“TD error”

　　|——  TD target             R_t+1 + γV(S_t+1)

　　\——   TD error             δ_t = R_t+1 + γV(S_t+1)−V(S_t)

拓展：TD n step

是对上面的TD的一个拓展，上面我们使用R_t+1 + γV(S_t+1)作为TD target来计算均值估计V(S_t)     ==》    一步的真实采样+一个还在迭代更新中不准确的V值

我们也可以多看几步，如R_t+1 +R_t+2 + γV(S_t+3)作为TD target来计算均值估计V(S_t)，                 ==》    两步的真实采样+一个还在迭代更新中不准确的V值

....................................                                                                           ==》     n步的真实采样+一个还在迭代更新中不准确的V值

四、 蒙特卡洛&时序差分 的 Bias / Variance 比较：

五、 TD(λ)方法

　　TD(λ)的更新式是这样的：V(St) ← V(St) + α(          G^λ               −V(St))

　　G^λ  是这样定义的：