【题解】Luogu P2347 砝码称重

正经·DP题解

一道非常好的背包练手题（

sto（注：原思路来源 SLYZ_0120 的题解）orz

开始这道题

1.输入六个数，存进数组中

2.初始化 f 数组为0。 f [ i ] 表示重量为 i 的情况是否出现过（下面代码使用的是 int 数组，当然用 bool 数组会更好）。如果出现过即为真（1），未出现过即为假（0）。

3.这里我们要将 f [ 0 ] 设为 1 。总重量为 0 即一个砝码也不用，我们将这种情况设为已有。

4.第一重循环。

for (int i = 1 ; i <= 6 ; i++ )

我们枚举六种重量的砝码。

5.第二重循环

for (int j = 1 ; j <= a[i] ; j++ )

这里的a[i]指的是第 i 种砝码的个数。即我们进行循环的次数就是第i种砝码的个数（你是不是觉得我在说废话 但是请好好理解）

6.第三重循环

for (int k = 1000 ; k >= 0 ; k-- )

三重循环分开来或许不是很好理解。接下来我们来结合三个循环分析。

7.代码核心

for (int i=1 ; i<=6 ; i++)

    for (int j=1 ; j<=a[i] ; j++)

        for (int k=1000 ; k>=0 ; k--)
        {

             if (f[k]==1)
			 {
				 f[k+w[i]]=1;
			 }

        }

请按照提示看以上代码

1.首先，请简要看完三重循环并尝试初步理解。

2.看循环内部语句。

       看这两个语句时，请尝试将样例代入（建议自己设个稍微大一点点点点的样例 真的大一点点就够了 因为 1 不够特殊），从 i=1，j=1，k=1000的情况开始，尝试想想，当是这种情况时， f 数组发生了什么变化？
       接着想想，当k不停的自减，会发生什么呢？
       最后想想，当 i=1，j=1，k=0的时候会发生什么呢？那又代表了什么意思？

   思考：循环内部的语句。
                接下来，我们指的“某种重量成立”，指的是这个重量可以被称出来。（也可以说，有这么一些砝码可以组成这个重量）
                其实，当六种砝码的个数都是无限的时候，因为我们有一种砝码的重量为1，所以所有重量都可以 成立 。
                但是，当六种砝码的个数是有限的时候，并不是所有的重量都能够 成立 。
                那么，我们的 f 数组，其实就是用于标记  “这种重量是否成立”  。

                我们有这么一个状态 X ， 状态 X 的砝码重量为 w 。（即重量 w 成立）
                那么如果我们有一个 “未使用” 的砝码 ，其重量为 p ，那么
                重量   w+p    也是成立的。（这句话请认真理解）

                带着这个思路，请看向循环  “k=1000……” 以及 循环内部的语句  。
                这里的 k ，其实就是刚刚所提到的重量 w 。
                f [ k ] == 1 ，就是重量 k 成立的意思 。那么我们加上 w [ i ]  （相当于刚刚的 p ），即第i种砝码的重量，那么得到的重量依然是成立的。

3.请看向第二个循环语句

        顺着我们上一条的思路。
        返回我们文章开头的地方，对于 j 这重循环的介绍。

        “这里的 a [ i ] 指的是第 i 种砝码的个数。即我们进行循环的次数就是第i种砝码的个数”。

        接着看向我们上一条中
        “ 如果我们有一个 ‘未使用’ 的砝码 ”

        其实在我们进行这一重循环的时候，就相当于，我们将第 i 种砝码 “摆成一排”。

        对，你现在可以打大开脑洞，想着你本来有10个一样重的砝码，然后你把这些砝码在你面前整齐de放成一排——————

        现在拿起你的第一个砝码。我们开始找已知的 “成立的重量”。 找到一个成立的重量后，我们就可以确定，这个成立的重量加上你手中的这个砝码也是一个成立的重量。那么我们将新的 “成立的重量” 标记。

        现在拿起你的第二个砝码。我们继续找已知的 “成立的重量”。 注意，这时成立的重量，包含了我们刚刚拿第一个砝码时标记的 “新的成立的重量”。接下来的步骤类似上面。

        ………………

        刚刚的砝码用完了，
        接着，你又拿出了跟刚才不同重量的另外10个一样重的砝码，摆成一排……
        接下来发生了什么也类似上面。

        当你把所有的砝码都用完的时候，所有被标记的 “成立的重量”，就是使用这些砝码的所有 “成立的重量” ！

        最后，只要一遍扫过去 ~ 统计有多少种成立的重量就可以啦 ~

4.请思考：为什么 k 要从 1000 到 1 而不是 1 到 1000 呢？

        如果这个问题你一下子想不明白，那你可以先试着将下面的完整代码复制，把 for (int k=1000;k>=0;k--) 改成 for (int k=0;k<=1000;k++) ，再测一下样例，看一下结果是多少。

        如果你还没想清楚：惊不惊喜！意不意外！答案居然是1000！

        以样例为例子，我们可以想到，当 k=0 的时候， f[1] 就会被标记为成立。但接下来，当 k=1 的时候，f [2] 也会被标记为成立。那么是不是一遍扫过去，f [1~1000] 全部都被标记为成立了呢！

        在本题中，对于一个成立的重量 w ，一个砝码的重量 p ，w+p 一定大于 w。
        所以这样就会造成    一个砝码使用多次的情况  （请认真体会

        就是我们前一条所说的 “当六种砝码的个数都是无限的时候，因为我们有一种砝码的重量为1，所以所有重量都可以 成立 。”

完整代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int MAXN=1001;
int a[7],w[7]={0,1,2,3,5,10,20},f[MAXN]={};//a数组存放的是每种砝码的数量，w数组是每种砝码的重量，f[i]表示 “重量 i 成立”
int main()
{
	for (int i=1;i<=6;i++)//输入
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	f[0]=1;//初始化!   f [0] 就是不使用任何砝码的情况
	for (int i=1;i<=6;i++)//枚举六种砝码
	{
		for (int j=1;j<=a[i];j++)//枚举每个砝码
		{
			for (int k=1000;k>=0;k--)//寻找 已成立的重量
			{
			    if (f[k])//若此重量成立
				{
					f[k+w[i]]=1;//那么这个重量加上这个未使用的砝码的总重量也成立
				}
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for (int i=1;i<=1000;i++)//一遍扫，统计成立的重量。记住从1开始循环，因为不使用砝码的情况在这里不统计
	{
		if (f[i]) ans++;
	}
	printf("Total=%d",ans);//输出
	return 0;//华丽丽de结束！
 }

给大佬们递AC！！