JZOJ【NOIP2013模拟联考14】隐藏指令

题目

Description

在d维欧几里得空间中，指令是一个长度为2N的串。串的每一个元素为d个正交基的方向及反方向之一。例如，d = 1时（数轴），串的每一个元素为左或右；d = 2时（平面），串的元素为上下左右之一；d = 3时（空间），串的元素为上下左右前后之一；d≥4时同理。

从起点出发，结月缘按照顺序一个一个的执行指令S中的元素，对于每个元素，结月往该方向行走1步。图2是一个例子，d = 2, S =→↓↑→→↓→→，|S|=2N=8。

我们认为，指令S是能够变得幸福的，当且仅当结月执行完该指令S后能够回到出发点。

请计算有多少种不同的指令S是能够变得幸福的，并输出其mod 1 000 000 007的值。两个指令被认为不同当且仅当存在一个位置，两个串在该处的元素不同。

Input

输入仅一行，两个用空格分开的非负整数d，N。

Output

输出仅一行，仅一个整数表示能够变得幸福的指令数mod 1 000 000 007。

Sample Input

输入1：

2 0

输入2：

2 1

输入3：

2 2

输入4：

3 1

输入5：

3 2

Sample Output

输出1：

1

【样例1说明】

空指令是能够变得幸福的。

输出2：

4

【样例2说明】

S1 =←→, S2 =→← , S3 =↑↓, S4 =↓↑

输出3：

36

【样例3说明】

如果结月缘只在一个维度上运动，也就是指令中横与纵的方向不同时出现，那么可能的情况有12种。如果结月缘在两个维度上都有运动，也就是指令中左右上下同时出现，那么有4! = 24种情况。相加后除以1 000 000 007取余数即可得到答案36。

输出4：

6

【样例4说明】

结月只能在三个维度之中一个运动，每个维度对应两种可能的能够变得幸福的隐藏指令。故总计3*2=6。

输出5：

90

Data Constraint

题解

题意

有一个\(d\)维空间，同时有一个长度为\(2n\)的操作序列，每个操作往某一维的正方向或反方向走一格，问多少种方案使得最后走回原点，对\(1e9+7\)取模

题解

5%

\(n=0\)时答案是1

期望得分5

30%

\(d=1\)时答案是\(C_{2n}^n\)

因为只有正方向和反方向各占一半才能走回原点

综上，期望得分30

60%

\(d=2\)时答案是\((C_{2n}^n)^2\)

证明如下

综上，期望得分60

75%

\(d=3\)时答案为

\(\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^{n-i}C_{2n}^{2i}C_{2n-2i}^{2j}C_{2i}^iC_{2j}^jC_{2n-2i-2j}^{n-i-j}\)

证明同\(d=2\)

综上，期望得分75

100%

考虑\(dp\)

设\(f[i][j]\)表示当前到了第\(i\)维，放了\(j\)对正反方向

转移

\(f[i][j]=\sum_{k=0}^jf[i-1][j-k]*C_{2j}^{2k}*C_{2k}^k\)

\(k\)表示当前这一维要放几对正反

预处理组合数即可

Code

#include<cstdio>

#include<cstring>

#define mod 1000000007

using namespace std;

int n,d,t[401];

long long s,now,g[401][401],f[401][401];

int main()

{

	scanf("%d%d",&d,&n);

	if (n==0)

	{

		printf("1\n");

		return 0;

	}

	g[0][0]=1;

	for (int i=1;i<=2*n;++i)

		for (int j=0;j<=i;++j)

			g[i][j]=(g[i-1][j-1]+g[i-1][j])%mod;

	f[0][0]=1;

	for (int i=1;i<=d;++i)

		for (int j=0;j<=n;++j)

			for (int k=0;k<=j;++k)

				f[i][j]=(f[i][j]+((f[i-1][j-k]*g[2*j][2*k]%mod)*g[2*k][k]%mod))%mod;

	printf("%lld\n",f[d][n]);

	return 0;

}