[SinGuLaRiTy] 数论基础

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整除

基本概念

设a,b为整数，且a不为0，如果存在一个整数q，使得a*q=b,则b能被a整除，记为a|b，且称b是a的倍数，a是b的因子。

性质

（1）如果a|b且b|c，则a|c ；
（2）a|b且a|c等价于对于任意的整数x，y，有a|(bx+cy) ；
（3）设m不为0，则a|b等价于ma|mb ；
（4）设整数x,y满足下式：ax+by=1，且a|n，b|n，那么(ab)|n ；
（5）若b=q*d+c，那么d|b的充要条件是d|c ；

<补充拓展>

（1）若2能整除a的最末位，则2|a

证明：若原数减去自己的最末尾，得到的数一定能被10整除，即一定能被2整除，又因为最末尾也能被2整除，则原数一定能被2整除
（2）若4能整除a的末两位，则4|a

证明：原理与（1）的相似。若原数减去自己的末两位尾数，得到的数一定能被100整除，即一定能被4整除，又因为末两位也能被4整除，则原数一定能被4整除
（3）若8能整除a的末三位，则8|a

证明：原理与（1）（2）相似。
（4）若3能整除a的各位数字之和，则3|a

证明：设任意一个数S=a*10^0+b*10^1+c*10^2+d*10^3+......

                                  =(a+b+c+d+......)+9b+99c+999d+9999e+......

          由于3|(a+b+c+d+......)，3|(9b+99c+999d+9999e+......)，则3|S
（5）若9能整除a的各位数字之和，则9|a

证明：原理与（4）相同。
（6）若11能整除a的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差，则11|a

证明：设任意一个数S=a*10^0+b*10^1+c*10^2+d*10^3+......

                                  =(a-b+c-d+......)+11b+99c+1001d+......

           由于11|(a-b+c-d+......)，11|(11b+99c+1001d+......),则11|S
（7）能被7、11、13整除的数的特征是：这个数的末三位与末三位以前的数字所组成数之差能被7、11、13整除。

证明：原理与（6）相同。

GCD & LCM：

*一般的，设a1,a2,a3,……ak是k个正整数，如果存在一个正整数d，使得d|a1,d|a2,……d|ak,那么d则为a1,a2,……ak的公约数，其中最大的称为最大公约数，即为gcd(a1,a2,……,ak)，显然它是存在的，至少为1。当gcd=1时，称这n个数是互质的或既约的。公约数一定是最大公约数的约数。

*一般的，设a1,a2,a3,……ak是k个正整数，如果存在一个正整数d，使得a1|d,a2|d,a3|d,……ak|d,那么d则为a1,a2,……ak的公倍数，其中最小的称为最小公倍数数，记为lcm。

<欧几里得算法（辗转相除法）>

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
性质：若a,b为偶数，则gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2)；若a偶b奇，则gcd(a,b)=gcd(a/2,b)。

<实现代码>

long long gcd(long long x,long long y){
        if(x>y)return gcd(y,x);
        if(x==)return y;
        return gcd(y%x,x);
}  

由于有lcm(a,b)*gcd(a,b)=a*b,则lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)。

勾股数：

对于正整数x，y，z，如果满足等式：x^2+y^2=z^2,则称这组整数（x,y,z）为勾股数。换句话说，凡是可以构成直角三角形的整数即称为勾股数。
x，y，z两两互质的勾股数称为基本勾股数，如（3，4，5），（5，12，13）,其他勾股数称为派生勾股数。基本勾股数乘以一个系数则可以得到派生勾股数。
基本勾股数的奇偶性？
一定是二奇一偶，且最大的为奇数。
所有的基本勾股数都可以写成如下形式：
x=2mn,y=m^2-n^2,z=m^2+n^2 (m>n)
通过它可以枚举基本勾股数。

<勾股数完全公式>

a=m，b=(m^2/k-k) / 2，c=(m^2/k+k)/2 其中m≥3
⒈ 当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}
⒉ 当m确定为任意一个 ≥4的偶数时，k={m^2 / 2的所有小于m的偶数因子}
通过此公式可以求出所有的基本勾股数和派生勾股数，并可以求出给定a
时勾股数的组数。

<求勾股数的组数>

当a给定时，不同勾股数组a，b，c的组数N等于①式中k的可取值个数
⒈ 取奇数a=P1^M1×P2^M2×……×Pr^Mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，则k的可取值个数：
N=[(2*M1+1)×(2M2+1)×……×(2Mr+1)－1]/2
⒉ 取偶数a=2^M0×P1^M1×P2^M2×……×Pr^Mr，其中k={a^2/2的所有小于a的偶数因子}，则k的可取值个数：
N=[(2M0－1)×(2M1+1)×(2M2+1)×……×(2Mr+1)－1]/2
其中，P1，P2，……，Pr为互不相同的奇素数，M0，M1，……，Mr为幂指数。

模运算：

<小整数的幂取模>

#define LL long long int
LL power(int a,int b,int p) //a^b%p
{
   int t=a,res=;
   while(b)
   {
   if(b&)
         res=res*t%p;
         t=t*t%p;
         b>>=;
     }
}

<大整数的模乘法>

#define LL long long int
LL mul(LL a, LL b, LL p)  //a*b%p
{
     LL rn=, i;
     for(i=; i<=b; i<<=,a=(a<<)%p)
         if(b&i)
             rn=(rn+a)%p;
     return rn;
}

<大整数的幂取模>

#define LL long long int
LL ksm(LL a, LL b, LL p)
{
     LL rn=;
     for(; b; a=mul(a,a,p),b>>=)
         if(b&)
             rn=mul(rn,a,p);
     return rn;
} 

素数：

对于一个正整数n，如果它的约数只有1和n，则称n为质数。质数不包含1。
（1）素数有无穷多个。
（2）不超过n的素数个数可粗略估计为n/ln(n)
（3）任何大于1的非素数n，那么在[1,sqrt(n)]区间内至少存在一个素数。

<整数唯一分解定理>

任意一个大于1的整数n，均可以表示为若干个素数的乘积，且这个形式是唯一的。
n=p1^m1*p2^m2*……pk^mk
其中,p1,p2,……pk 为n的质因子。

<简单的素数判断>

bool prime(int num)
{
    for(int i=;i*i<=num;i++)
    {
        if(num%i==)
            return ;
     return ;
    }
}

*效率更高的【米勒罗宾素数判定法】

<线性时间筛素数>

//法一
const in MAXN=+;
const int MAXP=;
int vis[MAXN];
int prime[MAXP]
void sieve(int n)
{
 int m=(int)sqrt(n+0.5);
memset(vis,,sizeof(vis));
for(int i=;i<=m;i++)
if(!vis[i])
for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
vis[j]=;
}

//法二
int prime[MAXP];
bool flag[MAXN];
int j=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
   if(flag[i]==)
    prime[j++]=i;
    for(int k=;k<j;k++)
    {
       if(prime[k]*i>n)break;
       flag[prime[k]*i]=;
       if(i%prime[k]==)break;
    }
}

同余：

若a%m=b%m,则称a与B关于模m同余，记为a≡b(mod m)
性质：
（1）自反性： a≡a(mod m)
（2）对称性：若 a≡b(mod m)，则 b≡a(mod m)
（3）传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则 a≡c(mod m)
（4）同加性：若a≡b(mod m)，则a+c≡b+c(mod m)
（5）同乘性：若a≡b(mod m)，则a*c≡b*c(mod m)
若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有a*c≡b*d(mod m)
（6）同幂性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)
（7）若a%p=x,a%q=x,且p,q互质，则a%(p*q)=x

<同余分配率>

加法分配率：(a+b)%n=(a%n+b%n)%n
减法分配率：(a-b)%n=(a%n-b%n)%n
乘法分配率：(a*b)%n=a%n*b%n%n
除法不满足分配率,但有这个性质：(a/b)%n=a%(bn)/b

<剩余系>

给定n，则所有整数对n取模，将得到一个集合，称为模n的剩余系，即{0,1,2,……,n-1}.
n的剩余系中与n互质的数称为简化剩余系，也称为缩系。n的剩余系记为Zn，而n的缩系记为Zn*.
模n的剩余系中，每个元素都代表所有与它同余的整数，比如n=7，则1代表{1,8,15,22,……}，这个集合满足模n同余关系，称为同余等价类。

<威尔逊定理>

若p为素数，则(p-1)!≡-1(mod p)。 其逆定理也成立。

<费马定理>

若P为素数，a为正整数，且a和P互质，则有：a^p-1≡  1(mod p)

<欧拉定理>

欧拉函数phi：不超过n的且与n互质的正整数的个数。
如果n为素数p，则 phi(p)=p-1
如果n为素数p的幂次p^a，则 phi(p^a)=(p-1)*p^(a-1).
欧拉函数为积性函数：如果n为任意两个互质的数a、b的积，则 phi(n)= phi(a)* phi(b)

n=p1a1*p2a2*……*pkak
则  (n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*……*(1-1/pk)

欧拉定理：
若a与m互质，则

<欧拉函数计算>

//法一
int euler(int n)
{
  int m=(int)sqrt(n+0.5);
  int ans=n;
for(int i=;i<=m;i++)if(n%i==)
{
  ans=ans/i*(i-);
  while(n%i==)n/=i;
}
if(n>)ans=ans/n*(n-);
return ans;
}

//法二（此方法更快）
int phi[maxn];
void phi_table(int n)
{
for(int i=;i<=n;i++)phi[i]=;
phi[]=;
for(int i=;i<=n;i++)if(!phi[i])
for(int j=i;j<=n;j+=i){
if(!phi[j])phi[j]=j;
phi[j]=phi[j]/i*(i-);
}
}

<扩展欧几里得算法>

对于任意整数a，b，一定存在整数x、y，使得ax+by=gcd(a,b)若gcd(a,b)=1,则一定存在整数x，y，使得ax+by=1可以使用扩展欧几里德算法求出x，y。

void gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
if(!b){x=;d=a;y=;}
else {
gcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
}

x即为a的逆元（->数学中的求导）。

运用：

（1）求二元一次方程：ax+by=c
（2）求模线性方程：ax≡b (mod n)
（3）求逆元：ab≡1 (mod n)
（4）求gcd(a,b)

<模线性方程&中国剩余定理>

有如下方程：

其中n1，n2，……，nk互质。

中国剩余定理正是用来求解模线性方程组的。
对于n1，因为它与(n2*n3……*nk)互质，我们可以找到一个系数z1，使得z1*(n2*n3*……nk)%n1=1。设z1*(n2*n3*……*nk)为c1。
同理，对于每个nk，都可以找到一个zi，使得zi*(n1*n2*……*nj |j!=i)%ni=1，设zi*(n1*n2*……*nj |j!=i)为ci。
x=b1*c1+b2*c2+……bk*ck+m(n1*n2*…*nk) 其中m为任意整数。
x为一组解。

<模乘法的逆>

如果(a*b)%n=1,则称a与b模n互为倒数，记为a=b^(-1) ，b=a^(-1),这是模乘法的逆。
若a与n互质，则必存在一个整数b，使得a*b%n=1,即a模n的逆元一定存在。
若b存在逆元，则有(a/b)%n=(a*b^(-1))%n。
    证明：设b的逆元为c，则bc%n=1
    (a/b)%n=((a/b)*bc)%n=a*c%n=a*b^(-1)%n 

Time：2017-02-07