洛谷 P3320: bzoj 3991: LOJ 2182: [SDOI2015]寻宝游戏

题目传送门：LOJ #2182。

题意简述：

一棵 \(n\) 个节点的树，边有边权。

每个点可能是关键点，每次操作改变一个点是否是关键点。

求所有关键点形成的极小联通子树的边权和的两倍。

题解：

有一个结论：DFS 序求出后，假设关键点按照 DFS 序排序后是 \(\{a_1,a_2,\ldots ,a_k\}\)。

那么所有关键点形成的极小联通子树的边权和的两倍等于 \(\mathrm{dist}(a_1,a_2)+\mathrm{dist}(a_2,a_3)+\cdots+\mathrm{dist}(a_{k-1},a_k)+\mathrm{dist}(a_k,a_1)\)。

画个图感性理解一下，应该是很好懂的。

那么求一下 DFS 序，每次操作相当于往集合里加入/删除一个元素。

假设插入 \(x\)，它DFS序左右两边分别是 \(y\) 和 \(z\)。那么答案加上 \(\mathrm{dist}(x,y)+\mathrm{dist}(x,z)-\mathrm{dist}(y,z)\) 即可。

删除同理。还有，求 LCA 就用个倍增或者树剖吧，Tarjan 离线比较麻烦。

用 STL 自带的 set 容器维护起来很方便。你也可以手写树状数组/线段树/平衡树。

#include <cstdio>
#include <set>

typedef long long LL;
const int MN = 100005;

int N, M;
int h[MN], nxt[MN * 2], to[MN * 2], w[MN * 2], tot;
inline void ins(int x, int y, int z) {
	nxt[++tot] = h[x], to[tot] = y, w[tot] = z, h[x] = tot;
}

int dfn[MN], idf[MN], dfc;
int dep[MN], faz[MN][17];
LL dis[MN];

void DFS(int u, int fz) {
	dfn[u] = ++dfc; idf[dfc] = u; dep[u] = dep[faz[u][0] = fz] + 1;
	for (int j = 1; 1 << j < dep[u]; ++j) faz[u][j] = faz[faz[u][j - 1]][j - 1];
	for (int i = h[u]; i; i = nxt[i]) if (to[i] != fz) dis[to[i]] = dis[u] + w[i], DFS(to[i], u);
}

inline int lca(int x, int y) {
	if (dep[x] < dep[y]) std::swap(x, y);
	for (int d = dep[x] - dep[y], j = 0; d; d >>= 1, ++j)
		if (d & 1) x = faz[x][j];
	if (x == y) return x;
	for (int j = 16; ~j; --j) if (faz[x][j] != faz[y][j])
		x = faz[x][j], y = faz[y][j];
	return faz[x][0];
}

inline LL dist(int x, int y) { return dis[x] + dis[y] - 2 * dis[lca(x, y)]; }

bool vis[MN];
std::set<int> st;
std::set<int>::iterator it;
LL Ans;

int main() {
	scanf("%d%d", &N, &M);
	for (int i = 1, x, y, z; i < N; ++i) {
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
		ins(x, y, z), ins(y, x, z);
	}
	DFS(1, 0);
	for (int m = 1, x, y, z; m <= M; ++m) {
		scanf("%d", &x);
		x = dfn[x];
		if (!vis[idf[x]]) st.insert(x);
		y = idf[(it = st.lower_bound(x)) == st.begin() ? *--st.end() : *--it];
		z = idf[(it = st.upper_bound(x)) == st.end() ? *st.begin() : *it];
		if (vis[idf[x]]) st.erase(x);
		x = idf[x];
		LL d = dist(x, y) + dist(x, z) - dist(y, z);
		if (!vis[x]) vis[x] = 1, Ans += d;
		else vis[x] = 0, Ans -= d;
		printf("%lld\n", Ans);
	}
	return 0;
}