【河北省队互测】 gcd BZOJ 2818

Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

hint

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

思路

最近看了很多关于gcd和mod的题目。

通过最近几道题目了解了很多=。=

首先有这么一个性质：如果a∈[1,n]，b∈[1,m]，那么gcd(a,b)|k的有(n/k)*(m/k)组。

那么令f[x]为gcd(a,b)==k的组数，f[k]=(n/k)*(m/k)-f[2k]-f[3k]-f[4k]……

对于这一题来说。。好像是并不可以过的。

那么就有别的性质：

如果a,b∈[1,n]，gcd(a,b)==k的组数等价于a,b∈[1,n/k]，gcd(a,b)==1的组数。

这就很好求了吧，就是1->n的phi值之和（欧拉函数）*2-1。

首先每组数必须要算两遍，比如(3,5)和(5,3)，所以要*2。然后(1,1)不要算两遍，所以再-1。

然后就是如何求出1-n中所有的质数以及欧拉函数了。现场学习线性筛。。

其实我完全不理解啊。。先记住好了。。核心代码如下:

 phi[]=;memset(is_prime,true,sizeof(is_prime));
 for(int i=;i<=n;i++){
     if (is_prime[i]){
        phi[i]=i-;
        prime[++cnt]=i;
     }
     for(int j=;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){
        is_prime[i*prime[j]]=false;
        if (i%prime[j]!=)  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-);
        else{
          phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
          break;
        }
     }
 }

线性筛

应该没写错吧。。为了加强记忆默写的。。如果有问题就看下面的那个版本吧，那个是AC了的。

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <string>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <list>
 #include <vector>
 #include <ctime>
 #include <functional>
 #define pritnf printf
 #define scafn scanf
 #define sacnf scanf
 #define For(i,j,k) for(int i=(j);i<=(k);(i)++)
 #define Clear(a) memset(a,0,sizeof(a))
 using namespace std;
 typedef unsigned int Uint;
 const int INF=0x3fffffff;
 ///==============struct declaration==============

 ///==============var declaration=================
 const int MAXN=;
 int n,tot=,ans=;
 int prime[MAXN];
 long long phi[MAXN];
 bool is_prime[MAXN];
 ///==============function declaration============
 void Init();
 ///==============main code=======================
 int main()
 {
 //#define FILE__
 #ifdef FILE__
    freopen("input","r",stdin);
    freopen("output","w",stdout);
 #endif
    scanf("%d",&n);
    Init();
    for(int i=;i<=n;i++) phi[i]+=phi[i-];
    long long ans=;
    for(int i=;i<=tot;i++)
       ans+=phi[n/prime[i]]*-;
    printf("%lld\n",ans);
    return ;
 }
 ///================fuction code====================
 void Init(){
    memset(is_prime,true,sizeof(is_prime));phi[]=;
    for(int i=;i<=n;i++){
       if (is_prime[i]){
          phi[i]=i-;
          prime[++tot]=i;
       }
       for(int j=;j<=tot;j++){
          if (i*prime[j]>n)   break;
          is_prime[i*prime[j]]=false;
          if (i%prime[j]==){
             phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
             break;
          }
          else
             phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-);
       }
    }
 }

BZOJ2818

不要问我那些性质是为什么。。我也布吉岛(╯‵□′)╯︵┻━┻