Luogu P4299 首都 LCT

既然是中文题目，这里便不给题意。

分析：

　　这个题的做法据说是启发式合并？

　　但是我不会啊……

　　进入正题，LCT是怎样做掉这道题的。记得在前面的一篇《大融合》的题解中，介绍过LCT维护子树信息的做法。

　　一句话概括就是要维护虚子树和实子树的size，适时修改，保持其正确性。

　　这道题关键并不在这，但我们必须要维护这样一个信息才可以做。

　　很简单很直观的一个想法，因为我们每次合并两棵树时，新的重心必然出现在原来两个重心的路径上。

　　这是为什么？我们假设如果不在这条路径上，而是其中一棵树的其他子树的某一点，那么我们发现这一点比起之前，size较大的一棵子树上又缀了一棵树（以这个点为根），所以一定不优。

　　于是我们就合并树后把两棵原树的重心打通，（放到一个splay里），这时候尺寸就派上用场了，我们就在这个splay里查找，因为重心反正肯定存在于这个splay中了，那么我们就维护一个左尺寸，一个右尺寸。左边大了我们就让重心往左移动，右边大了就往右移动，直到两边的尺寸都小于等于总尺寸的一半，就好啦！（别忘了多个重心时的编号最小化）

代码：

 #include<bits/stdc++.h>
 #define lc(x) t[x][0]
 #define rc(x) t[x][1]
 using namespace std;
 const int N=;
 const int inf=0x3f3f3f3f;
 struct LCT{
     int t[N][],s[N],rev[N],fa[N],sx[N],sz[N],tp;
     void pushup(int x){
         sz[x]=sz[lc(x)]+sz[rc(x)]+sx[x]+;
     } bool pdrt(int x){
         return rc(fa[x])!=x&&lc(fa[x])!=x;
     } void revers(int x){
         rev[x]^=;swap(lc(x),rc(x));
     } void pushdown(int x){
         if(rev[x]){ rev[x]=;
             if(lc(x)) revers(lc(x));
             if(rc(x)) revers(rc(x));
         } return ;
     } void rotate(int x){
         int y=fa[x];int z=fa[y];
         int dy=(rc(y)==x),dz=(rc(z)==y);
         if(!pdrt(y)) t[z][dz]=x;
         t[y][dy]=t[x][dy^];fa[t[y][dy]]=y;
         t[x][dy^]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;
         pushup(y);return ;
     } void splay(int x){
         s[++tp]=x;
         for(int i=x;!pdrt(i);i=fa[i])
         s[++tp]=fa[i];
         while(tp) pushdown(s[tp--]);
         while(!pdrt(x)){
             int y=fa[x];int z=fa[y];
             if(!pdrt(y))
             if(rc(y)==x^rc(z)==y) rotate(x);
             else rotate(y);rotate(x);
         } pushup(x);return ;
     } void access(int x){
         for(int i=;x;x=fa[i=x])
         splay(x),sx[x]+=sz[rc(x)],
         sx[x]-=sz[rc(x)=i],pushup(x);
     } void mkrt(int x){
         access(x);splay(x);revers(x);
     } void split(int x,int y){
         mkrt(x);access(y);splay(y);
     } void link(int x,int y){
         split(x,y);sx[fa[x]=y]+=sz[x];
         pushup(y);
     } int update(int x){
         int l,r,o=sz[x]&,sm=sz[x]>>,
         ls=,rs=,np=inf,nl,nr;
         while(x){
             pushdown(x);
             nl=sz[l=lc(x)]+ls;nr=sz[r=rc(x)]+rs;
             if(nl<=sm&&nr<=sm){
                 if(o){np=x;break;}
                 else if(np>x) np=x;
             } if(nl<nr) ls+=sz[l]+sx[x]+,x=r;
             else rs+=sz[r]+sx[x]+,x=l;
         } splay(np);return np;
     }
 }t;int n,m,fa[N];
 int get(int x){
     return fa[x]==x?x:fa[x]=get(fa[x]);
 } int main(){
     char c[];int rox=;//尤为重要，必须赋0；
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<=n;i++)
     t.sz[i]=,fa[i]=i,rox^=i;
     while(m--){
         scanf("%s",c);int x,y,z;
         if(c[]=='A'){
             scanf("%d%d",&x,&y);t.link(x,y);
             t.split(x=get(x),y=get(y));
             z=t.update(y);rox=(rox^x^y^z);
             fa[x]=fa[y]=fa[z]=z;
         } else if(c[]=='Q'){
             scanf("%d",&x);
             printf("%d\n",get(x));
         } else printf("%d\n",rox);
     } return ;
 }