2017多校Round5(hdu6085~hdu6095)

补题进度：7/11

1001（模意义下的卷积）

题意：

给出长度<=50000的两个数组A[] B[]，保证数组中的值<=50000且A[]中数字两两不同，B[]中数字两两不同

有50000个询问，对于每个询问k，你需要回答有多少对(i,j)满足A[i]%B[j]==k，你只需要回答答案的奇偶性就行了

分析：

我们容易想到询问k要全部预处理出来

$$ans[k]=\sum_{i mod j=k}  {A[i]*B[j]}$$

这实际上是个模意义下的卷积，套路是枚举余数和倍数

我们可以枚举B的下标i，然后枚举一个倍数j，那么等价于每次将$A[j*i...(j+1)*i-1]$加到$ans[0..i-1]$上

因为是在模2意义下的加法，所以就是异或

想到用一个bitset维护A和ans，那么复杂度就从$O(n ^ {2})$降到了$O(\frac {n^{2}} {64})$

但是STL里的bitset不支持取区间的操作，所以只能自己手写bitset压位，然后手动取区间

1002（AC自动机+DP）

题意：

给出不超过6个01字符串，每个长度不超过20，现在你要构造长度为2L的特殊字符串，即前L个位置与后L个位置的对称位置字符一定要不同

问一共有多少种长度为2L的特殊字符串可以包含所有输入的01字符串

分析：

如果仅仅是问有多少个长度为L的字符串可以包含所有输入字符串，那么就是个经典的AC自动机+DP

&dp[i][j][s]&表示我走了i步，当前在自动机的j节点，已经走出的字符串集合为s的方案数

对于此问题，我们只需要走出长度L就行了，另一半的L对应就出来了

我们可以把给定的字符串插入自动机，然后把字符串的逆序插入自动机

但是还要考虑跨中间的情况

所以我们可以对于每个字符串，去枚举中间点，它会对应出一个左边字符串，我们把这个也加入自动机

但是注意“跨中间字符串”只能在最后一个位置匹配，不能在前面位置匹配，所以我们对“跨中间字符串”与普通字符串要在自动机上分开标记

1003

待填坑

1004（莫比乌斯反演+FFT）

题意：

A和B进行n次石头剪刀布，获胜、失败、平局的概率都是$\frac {1} {3}$

如果A赢了a局，B赢了b局，平了n-a-b局，那么这比赛的价值就是$gcd(a,b)$

输出比赛价值期望，以$ans*3^{2n}$输出

分析：

首先容易分析出结果式子

$$ans=3^{n} * \sum_{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n-i}\binom{n}{i}\binom{n-i}{j}*gcd(i,j)$$

然后看见这种求和式里有gcd，就容易想到枚举因子把它反演掉

$$ans=3^{n} * \sum_{d=1}^{n} \phi (d)\sum_{i=0}^{\frac{n}{d}}\sum _{j=0}^{\frac{n}{d}-i}\binom{n}{id}\binom{n-id}{jd}$$

第一个$\sum$可以直接枚举d，然后后面长得很像卷积，感觉可以FFT优化，我们分析一下后面的式子

我们把阶乘式子拆出来，然后化简

$$f(i)=\frac{1}{(id)!}$$
$$g(i+j)=\frac{1}{(n-(i+j)d)!}$$
$$ans[j]=\sum f(i)*g(i+j)$$

每次后面的是个$\frac{n}{d}$级别的FFT，所以总的时间复杂度是$O(nlog^{2}n)$的

1005

待填坑

1006（贪心）

贪心构一个菊花图，分情况列下式子即可

1007

待填坑

1008（dp）

一个数字的个数由两部分组成，一种是由前面数字组合而成，另一种是本身存在于集合里，所以只需要把之前的数字进行背包，得出组成该数字的方案x，将b[num]-x，得到的就是本身存在于集合里的num个数

1009（康托展开）

题意：

一个数称为好数当且仅当存在某一个d，将这个数转成d进制，恰好有d位，且系数是0~d-1的排列，当然首位不能为0

询问一个区间[l,r]内好数的个数，$r\leqslant 10^{5000}$

分析：

肯定是枚举进制d，去看看[1..x]内有多少个好数

一定是前面一些d都在x之内，容易发现这样对于每个d，方案数就是$d!-(d-1)!$

然后我们会找到一个d,这个d能产生的所有好数中部分比x大，部分比x小

我们可以将该数字转成d进制（不断高精度除），然后用类似康托展开的方法求方案数

这里值得一提就是找d的过程，我们可以根据$n^n$来估计一个进制最大的位数，然后去很方便地判断d进制是否是当前数字的临界进制

注意细节就是数字比较小的时候我们可以枚举前面的一些小进制使得不遗漏，并且找到d之后，我们再去算算d-1,d+1

时间复杂度$O(len^2)$

1010

待填坑

1011（贪心）

略