【noip2018】【luogu5021】赛道修建

题目描述

C 城将要举办一系列的赛车比赛。在比赛前，需要在城内修建 mm 条赛道。

C 城一共有 nn 个路口，这些路口编号为 1,2,…,n1,2,…,n，有 n-1n−1 条适合于修建赛道的双向通行的道路，每条道路连接着两个路口。其中，第 ii 条道路连接的两个路口编号为 a_iai​ 和 b_ibi​，该道路的长度为 l_ili​。借助这 n-1n−1 条道路，从任何一个路口出发都能到达其他所有的路口。

一条赛道是一组互不相同的道路 e_1,e_2,…,e_ke1​,e2​,…,ek​，满足可以从某个路口出发，依次经过 道路 e_1,e_2,…,e_ke1​,e2​,…,ek​（每条道路经过一次，不允许调头）到达另一个路口。一条赛道的长度等于经过的各道路的长度之和。为保证安全，要求每条道路至多被一条赛道经过。

目前赛道修建的方案尚未确定。你的任务是设计一种赛道修建的方案，使得修建的 mm 条赛道中长度最小的赛道长度最大（即 mm 条赛道中最短赛道的长度尽可能大）

输入输出格式

输入格式：

输入文件第一行包含两个由空格分隔的正整数 n,mn,m，分别表示路口数及需要修建的 赛道数。

接下来 n-1n−1 行，第 ii 行包含三个正整数 a_i,b_i,l_iai​,bi​,li​，表示第 ii 条适合于修建赛道的道 路连接的两个路口编号及道路长度。保证任意两个路口均可通过这 n-1n−1 条道路相互到达。每行中相邻两数之间均由一个空格分隔。

输出格式：

输出共一行，包含一个整数，表示长度最小的赛道长度的最大值。

【数据规模与约定】

对于所有的数据， 2 ≤ n ≤ 50,0002≤n≤50,000， 1 ≤ m ≤ n-11≤m≤n−1， 1 ≤ a_i,b_i ≤ n1≤ai​,bi​≤n， 1 ≤ l_i ≤ 10,0001≤li​≤10,000。

题解：

题意即求一个k段不相交路径长度最小值的最大值；

二分这个最大的最小值mid，那么要求判断是否有一种方案可以分出>=k条路径使得权值都>=mid;

树形dp  ： 当做到节点u，要么u的所有儿子都一定成为了路径，要么至多有一条可以向上延伸的路径；

这样如果可以在u形成>=mid的路径，那么一定比此时不形成路径往上连更优；

记录每个点可以往上连的权值val，考虑u的儿子v，u,v之间的边为E[i]  （代码风格，忍受一下。。）

val[v]+E[i].w >= mid 直接统计为一条合法路径；

否则把左边存在一个数组里，可以知道要形成路径只能两两配对，排序后二分可以确定最大的对数；

注意未配对的最大的数可能可以替换已配对的权值，找到最大可替换数设置成val[u](注意细节)

复杂度   $O(n log^2 n)$

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 #include<vector>
 #include<algorithm>
 #define inf 0x3f3f3f3f
 #define rg register
 #define il inline
 #define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
 using namespace std;
 const int N=;
 int n,k,o,hd[N],mid,val[N],sum,p[N];
 vector<int>g[N];
 struct Edge{int v,nt,w;}E[N<<];
 void adde(int u,int v,int w){
     E[o]=(Edge){v,hd[u],w};hd[u]=o++;
     E[o]=(Edge){u,hd[v],w};hd[v]=o++;
 }
 bool check2(int u,int Mid){
     int cnt=g[u].size();
     int p=cnt-(Mid<<);
     for(int i=;i<=Mid;i++){
         if(g[u][p+i-]+g[u][cnt-i]<mid)return false;
     }
     return true;
 }
 void dfs(int u,int fa){
     g[u].clear();
     val[u]=;
     for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){
         int v=E[i].v;
         if(v==fa)continue;
         dfs(v,u);
         int t=E[i].w+val[v];
         if(t>=mid)sum++;
         else g[u].push_back(t);
     }
     int cnt=(int)g[u].size();
     if(!cnt)return;
     sort(g[u].begin(),g[u].end());
     int l=,r=cnt>>;
     while(l<r){
         int Mid=(l+r+)>>;
         if(check2(u,Mid))l=Mid;
         else r=Mid-;
     }
     sum+=l;
     if((l<<)==cnt)return;
     for(int i=;i<l;i++){
         int t1=cnt-(l<<)+i;
         int t2=cnt--i;
         p[t1]=t2;
         p[t2]=t1;
     }
     int t;
     for(t=cnt-(l<<);t<cnt&&g[u][t-]+g[u][p[t]]>=mid;t++){
         p[p[t]]=t-;
         p[t-]=p[t];
     }
     t--;
     return void(val[u]=g[u][t]);
 }
 bool check1(){
     sum=;dfs(,);
     return sum>=k;
 }
 int main(){
     freopen("track.in","r",stdin);
     freopen("track.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&n,&k);
     int l=inf,r=;
     o=;
     for(rg int i=,u,v,w;i<n;i++){
         scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
         r+=w; l=min(l,w);
         adde(u,v,w);
     }
     while(l<r){
         mid=(l+r+)>>;
         if(check1())l=mid;
         else r=mid-;
     }
     printf("%d\n",l);
 }//by tkys_Austin;