动态规划——最长公共子序列LCS及模板

摘自 https://www.cnblogs.com/hapjin/p/5572483.html

这位大佬写的对理解DP也很有帮助，我就直接摘抄过来了，代码部分来自我做过的题

一，问题描述

给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB

则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA

二，算法求解

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题

①最优子结构

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

1）如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(X_n-1，Y_m-1)

LCS(X_n-1，Y_m-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）

为什么是最优的子问题？因为我们要找的是X_n-1 和 Y_m-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）

2）如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(X_n-1，Y_m) 和 LCS(X_n，Y_m-1)

因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。

LCS(X_n-1，Y_m)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。

LCS(X_n，Y_m-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。

求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：

LCS=max{LCS(X_n-1，Y_m)，LCS(X_n，Y_m-1)}

由于条件 1)  和  2)  考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。

②重叠子问题

重叠子问题是啥？就是说原问题 转化 成子问题后，  子问题中有相同的问题。咦？我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊？？？？

OK，来看看，原问题是：LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(X_n-1，Y_m-1)    ❷LCS(X_n-1，Y_m)    ❸LCS(X_n，Y_m-1)

初一看，这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：

第二个子问题：LCS(X_n-1，Y_m) 就包含了：问题❶LCS(X_n-1，Y_m-1)，为什么？

因为，当X_n-1 和 Y_m 的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(X_n-1，Y_m)进行分解：分解成：LCS(X_n-1，Y_m-1) 和 LCS(X_n-2，Y_m)

也就是说：在子问题的继续分解中，有些问题是重叠的。

由于像LCS这样的问题，它具有重叠子问题的性质，因此：用递归来求解就太不划算了。因为采用递归，它重复地求解了子问题啊。而且注意哦，所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。

这篇文章中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。

那么问题来了，你说用递归求解，有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题，难道用了动态规划，就变成多项式时间了？？

呵呵哒。。。。

关键是采用动态规划时，并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说：用了动态规划之后，有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的。废话少说：举个例子吧！比如求Fib数列。关于Fib数列，可参考：

求fib(5)，分解成了两个子问题：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)时，又分解了一系列的小问题....

从图中可以看出：根的左右子树：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重叠的！！！比如，对于 fib(2)，它就一共出现了三次。如果用递归来求解，fib(2)就会被计算三次，而用DP(Dynamic Programming)动态规划，则fib(2)只会计算一次，其他两次则是通过”查表“直接求得。而且，更关键的是：查找求得该问题的解之后，就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归，是不断地将问题分解，直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))

说了这么多，还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧：）

c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度。（是长度哦，就是一个整数嘛）。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节

这张DP表很是重要，从中我们可以窥见最长公共子序列的来源，同时可以根据这张表打印出最长公共子序列的构成路径

三，最长公共子序列模板

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = ;
char a[N],b[N];
int dp[N][N];
int main()
{
    int lena,lenb,i,j;
    while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF)
    {
        memset(dp,,sizeof(dp));
        lena=strlen(a);
        lenb=strlen(b);
        for(i=;i<=lena;i++)
        {
            for(j=;j<=lenb;j++)
            {
                if(a[i-]==b[j-])
                {
                    dp[i][j]=dp[i-][j-]+;
                }
                else
                {
                    dp[i][j]=max(dp[i-][j],dp[i][j-]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[lena][lenb]);
    }
    return ;
}

最长公共子序列打印路径的模板

递归法：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = ;
char x[N],y[N];
int dp[N][N];
int b[N][N];
void Print(int i,int j)
{
    if(i==||j==)///递归终止条件
    {
        return ;
    }
    if(b[i][j]==)
    {
        Print(i-,j-);
        printf("%c",x[i-]);
    }
    else if(b[i][j]==)
    {
        Print(i-,j);
    }
    else if(b[i][j]==)
    {
        Print(i,j-);
    }
}
int main()
{
    int lena,lenb,i,j;
    while(scanf("%s%s",x,y)!=EOF)
    {
        memset(dp,,sizeof(dp));
        memset(b,,sizeof(b));
        lena=strlen(x);
        lenb=strlen(y);
        for(i=;i<=lena;i++)
        {
            for(j=;j<=lenb;j++)
            {
                if(x[i-]==y[j-])
                {
                    dp[i][j]=dp[i-][j-]+;
                    b[i][j]=;///来自于左上方
                }
                else
                {
                    if(dp[i-][j]>dp[i][j-])
                    {
                        dp[i][j]=dp[i-][j];
                        b[i][j]=;///来自于左方
                    }
                    else
                    {
                        dp[i][j]=dp[i][j-];
                        b[i][j]=;///来自于上方
                    }
                }
            }
        }
        Print(lena,lenb);
    }
    return ;
}

非递归，在这里因为是逆序的回溯，所以我使用了栈来存储路径

 #include<stdio.h>
 #include<string.h>
 #include<stack>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define N 1010
 int dp[N][N];
 char c;
 int main()
 {
     char a[N];
     char b[N];
     scanf("%s%s",a,b);
     int la=strlen(a);
     int lb=strlen(b);
     memset(dp,,sizeof(dp));
     for(int i=; i<=la; i++)
     {
         for(int j=; j<=lb; j++)
         {
             if(a[i-]==b[j-])
                 dp[i][j]=dp[i-][j-]+;
             else
                 dp[i][j]=max(dp[i-][j],dp[i][j-]);
         }
     }
     int i=la,j=lb;
     stack<char>s;
     while(dp[i][j])
     {
         if(dp[i][j]==dp[i-][j])///来自于左方向
         {
             i--;
         }
         else if(dp[i][j]==dp[i][j-])///来自于上方向
         {
             j--;
         }
         else if(dp[i][j]>dp[i-][j-])///来自于左上方向
         {
             i--;
             j--;
             s.push(a[i]);
         }
     }
     while(!s.empty())
     {
         c=s.top();
         printf("%c",c);
         s.pop();
     }
     return ;
 }