[TopCoder14647]HiddenRabbits

vjudge

description

有一棵\(n\)个节点的树和\(m\)只兔子，每只兔子要住在一个点上（可以多只兔子住在同一个点上）。有\(q\)组要求，每组形如“当以\(r\)为根时，兔子\(a\)和兔子\(b\)居住的点的\(\mbox{LCA}\)要是\(x\)”。求一组合法方案，或判断不合法。

\(n,m,q\le250\)

sol

\(\mbox{2-sat}\)。

设\(S(i,j)\)表示\(i\)号兔子是否住在\(j\)节点的子树中。这里的子树是随便选一个点出来当作根的。

一些比较显然的连边（以下连边默认加上逆否命题的连边）：

\(\lnot S(i,rt) \to S(i,rt)\)

\(S(i,u) \to S(i,fa_u)\)

\(S(i,u) \to \lnot S(i,v)\)当且仅当\(u,v\)不存在祖孙关系。

然后就需要考虑每组要求了。

这里由于换根，需要对子树特殊处理，方法比较像[BZOJ3083]遥远的国度。

\(Case\ 1:x=r\)

那么\(a\)和\(b\)就要在\(x(r)\)的不同子树内，对于\(x\)的每一个儿子\(u\)，若\(a,b\)其中一个在子树\(u\)内另外一个就不能在。注意到\(x(r)\)可能不是树根\(rt\)，所以\(a,b\)中的其中一个还可能在\(x(r)\)的上方部分。

\(Case\ 2:r\)在\(x\)的子树中（这里是以选定的\(rt\)为根的子树）

设\(r\)在\(y\)的子树中，其中\(y \in son(x)\)。

连边和上一种\(Case\)基本相同，除了\(a,b\)都不能在\(y\)这棵子树中。

\(Otherwise\)

\(a,b\)都必须要在\(x\)的子树中，且不能在相同儿子的子树中。

建完边之后跑\(Tarjan\)就好了。

点数是\(O(n^2)\)，边数\(O(n^3)\)，总复杂度\(O(n^3)\)。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
int gi(){
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
const int N = 505;
const int M = 2e7+5;
int n,m,q,fa[N],r[N],a[N],b[N],x[N],pre[N],ft[N],st[N],ed[N],tim,S[N][N],tot=-1;
int to[M],nxt[M],head[N*N],cnt,dfn[N*N],low[N*N],s[N*N],vis[N*N],bel[N*N],scc;
vector<int>ans;
void dfs(int u){
	st[u]=++tim;
	for (int v=ft[u];v;v=pre[v]) dfs(v);
	ed[u]=tim;
}
bool in(int x,int y){//whether x is in y's subtree
	return st[x]>=st[y]&&st[x]<=ed[y];
}
void link(int u,int v){
	to[++cnt]=v;nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
	u^=1;v^=1;swap(u,v);
	to[++cnt]=v;nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}
void Tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++tim;vis[s[++s[0]]=u]=1;
	for (int e=head[u];e;e=nxt[e])
		if (!dfn[to[e]]) Tarjan(to[e]),low[u]=min(low[u],low[to[e]]);
		else if (vis[to[e]]) low[u]=min(low[u],dfn[to[e]]);
	if (dfn[u]==low[u]){
		++scc;int x;
		do x=s[s[0]--],vis[x]=0,bel[x]=scc; while (x^u);
	}
}
void work(){
	for (int i=1;i<=n;++i) pre[i]=ft[fa[i]],ft[fa[i]]=i;
	dfs(0);
	for (int i=0;i<m;++i)
		for (int j=0;j<=n;++j)
			S[i][j]=++tot,++tot;
	for (int i=0;i<m;++i){
		link(S[i][0]^1,S[i][0]);
		for (int u=1;u<=n;++u) link(S[i][u],S[i][fa[u]]);
		for (int u=1;u<=n;++u)
			for (int v=u+1;v<=n;++v)
				if (!in(u,v)&&!in(v,u)) link(S[i][u],S[i][v]^1);
	}
	for (int i=0;i<q;++i){
		if (x[i]==r[i]){
			link(S[a[i]][x[i]]^1,S[b[i]][x[i]]);
			for (int u=ft[x[i]];u;u=pre[u]) link(S[a[i]][u],S[b[i]][u]^1);
		}
		else if (in(r[i],x[i])){
			int y=r[i];while (fa[y]!=x[i]) y=fa[y];
			link(S[a[i]][y],S[a[i]][y]^1);
			link(S[b[i]][y],S[b[i]][y]^1);
			link(S[a[i]][x[i]]^1,S[b[i]][x[i]]);
			for (int u=ft[x[i]];u;u=pre[u]) if (u!=y) link(S[a[i]][u],S[b[i]][u]^1);
		}
		else{
			link(S[a[i]][x[i]]^1,S[a[i]][x[i]]);
			link(S[b[i]][x[i]]^1,S[b[i]][x[i]]);
			for (int u=ft[x[i]];u;u=pre[u]) link(S[a[i]][u],S[b[i]][u]^1);
		}
	}
	for (int i=tim=0;i<=tot;++i) if (!dfn[i]) Tarjan(i);
	for (int i=0;i<=tot;i+=2) if (bel[i]==bel[i^1]) return;
	for (int i=0;i<m;++i){
		int res=0;
		for (int j=1;j<=n;++j)
			if (bel[S[i][j]]<bel[S[i][j]^1]) res=j;
		ans.push_back(res);
	}
	return;
}
class HiddenRabbits{
public:
	vector<int> whereAreTheRabbits(vector<int>ff,int mm,vector<int>rr,vector<int>aa,vector<int>bb,vector<int>xx){
		n=ff.size();q=rr.size();m=mm;
		for (int i=1;i<=n;++i) fa[i]=ff[i-1];
		for (int i=0;i<q;++i) r[i]=rr[i],a[i]=aa[i],b[i]=bb[i],x[i]=xx[i];
		work();return ans;
	}
};