CSP模拟赛 number （二分+数位DP）

题面

给定整数m,km,km,k，求出最小和最大的正整数 nnn 使得 n+1,n+2,…,2nn+1,n+2,…,2nn+1,n+2,…,2n 中恰好有 mmm 个数 在二进制下恰好有 kkk 个 111。如果有无数个满足条件则输出一行一个整数−1-1−1。有TTT组数据。

T≤2000T\le 2000T≤2000

m≤1e18m\le 1e18m≤1e18

k≤64k\le 64k≤64

保证1e181e181e18内 存在一个数满足条件。

题解

设f(i)f(i)f(i)表示i+1,i+2,...,2ii+1,i+2,...,2ii+1,i+2,...,2i中在二进制下为恰好有kkk个111的数的个数。可以证明打表发现f(i)f(i)f(i)是单调不降的。所以就可以二分了。二分后数位DPDPDP就行了。计算f(i)f(i)f(i)可以用g(2i)−g(i)g(2i)-g(i)g(2i)−g(i)，其中g(i)g(i)g(i)表示111到iii的数中在二进制下恰好有kkk个111的数的个数。

因为数位DPDPDP的数组是可以多次用的，所以时间复杂度是整体两个logloglog的，而每次时间复杂度为O(+Tlog⁡2(二分上界))O(+T\log^2(二分上界))O(+Tlog2(二分上界))

但是这里的二分上界并不是1e181e181e18，因为保证最小的nnn在1e181e181e18内，但是最大的可能超出。所以上界我设的2632^{63}263

输出−1-1−1的情况只有一种就是k=1k=1k=1，在n=2pn=2^pn=2p时满足。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
ULL m, f[70][70];
int k, c[70], n;
bool vis[70][70];
ULL dfs(int i, int j, bool fp) {
	if(!fp && vis[i][j]) return f[i][j];
	if(i == 0) return j == 0;
	ULL ans = 0; int mx = fp ? c[i] : 1;
	for(int d = 0; d <= mx; ++d) ans += dfs(i-1, j-d, fp&&d==mx);
	if(!fp) vis[i][j] = 1, f[i][j] = ans;
	return ans;
}
ULL cal(ULL x) {
	for(n=0; x; c[++n]=x&1,x>>=1);
	return dfs(n, k, 1);
}
ULL chk(ULL x) { return cal(2*x) - cal(x); }
int main() {
	int T; scanf("%d", &T); while(T--) {
		scanf("%llu%d", &m, &k);
		if(k == 1) puts("-1");
		else {
			ULL l = 1, r = 1llu<<63, mid;
			while(l < r) {
				mid = (l + r) >> 1;
				if(chk(mid) >= m) r = mid;
				else l = mid+1;
			}
			ULL L = 1, R = 1llu<<63, MID;
			while(L < R) {
				MID = (L + R) >> 1;
				if(chk(MID) > m) R = MID;
				else L = MID+1;
			}
			printf("%llu %llu\n", l, L-1);
		}
	}
}