BZOJ 2839: 集合计数 广义容斥

在一个 $N$ 个元素集合中的所有子集中选择若干个，且交集大小为 $k$ 的方案数.

按照之前的套路，令 $f[k]$ 表示钦定交集大小为 $k$，其余随便选的方案数. 令 $g[k]$ 表示交集恰好为 $k$ 的方案数.
则有 $f[k]=\sum_{i=k}^{n}\binom{i}{k}g[k]$，反演得 $g[k]=\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}f[i]$
而 $f[k]=\binom{n}{k}2^{2^{n-k}}$，直接带入求值即可.

code:

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000005
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=1000000007;
void setIO(string s)
{
    string in=s+".in";
    string out=s+".out";
    freopen(in.c_str(),"r",stdin);
}
int a[N];
LL fac[N],inv[N],f[N],g[N],poww[N];
LL qpow(LL x,LL y)
{
    LL tmp=1ll;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)
        if(y&1) tmp=tmp*x%mod;
    return tmp;
}
LL Inv(LL x) { return qpow(x,mod-2); }
LL C(int x,int y)
{
    return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
int main()
{
    // setIO("input");
    int i,j,n,k;
    fac[0]=inv[0]=poww[0]=1ll;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(i=1;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*1ll*i%mod,inv[i]=Inv(fac[i]),poww[i]=poww[i-1]*2ll%(mod-1);
    for(i=0;i<=n;++i) f[i]=C(n,i)*qpow(2,poww[n-i])%mod;
    LL ans=0ll;
    for(i=k;i<=n;++i) (ans+=(qpow(-1,i-k)*C(i,k)%mod*f[i]%mod+mod)%mod)%=mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}