求无向图的割点和桥模板(tarjan)

一.基本概念

1.桥：若无向连通图的边割集中只有一条边，则称这条边为割边或者桥 (离散书上给出的定义。。

通俗的来说就是无向连通图中的某条边，删除后得到的新图联通分支至少为2(即不连通；

2.割点：若无向连通图的点割集中只有一个点，则称这个点为割点或者关节点 ；

通俗的来说就是无向连通图中的某条边，删除后得到的新图连通分支至少为2；

二：tarjan算法求割点和桥

1.割点：1）当前节点为树根的时候，条件是“要有多余一棵子树”；

　　　　     如果这有一颗子树，去掉这个点也没有影响，如果有两颗子树，去掉这点，两颗子树就不连通了；

2）当前节点u不是树根的时候，条件是“low[v]>=dfn[u]”，也就是在u之后遍历的点，能够向上翻，

　　　　　　最多到u，如果能翻到u的上方，那就有环了，去掉u之后，图仍然连通。

2.桥：若一条无向边（u，v）是桥，

1）当且仅当无向边（u，v）是树枝边，需要满足dfn(u)<low(v)，即v向上翻不到u及其以上的点，

　　　　　　那么u--v之间一定能够有1条或者多条边不能删去， 因为他们之间有部分无环，是桥，

　　　　　　如果v能上翻到u那么u--v就是一个环，删除其中一条路径后，仍然是连通的。

3.注意点：1）求桥的时候：因为边是无方向的，所以父亲孩子节点的关系需要自己规定一下，

在tarjan的过程中if（v不是u的父节点） low[u]=min(low[u],dfn[v]);

因为如果v是u的父亲，那么这条无向边就被误认为是环了。

2）找桥的时候：注意看看有没有重边，有重边的边一定不是桥，也要避免误判。

4.也可以先进行tarjan()，求出每一个点的dfn和low，并记录dfs过程中的每个点的父节点，

　　  遍历所有点的low，dfn来寻找桥和割点

代码：

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <vector>
 #include <string.h>
 using namespace std;

 const int MAXN=1e5+;
 vector<int> mp[MAXN];
 bool is_cut[MAXN];
 int n, m, count=;
 int low[MAXN], dfn[MAXN], pre[MAXN];//pre[u]记录u的父亲节点编号
 //dfn[u]记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号，low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点（即DFS次序号最小

 void tarjan(int u, int fu){
     pre[u]=fu;//记录当前u的父亲节点
     dfn[u]=low[u]=count++;
     for(int i=; i<mp[u].size(); i++){
         int v=mp[u][i];
         if(dfn[v]==-){
             tarjan(v, u);
             low[u]=min(low[u], low[v]);
         }else if(fu!=v){//如果v是u的父亲的话，即有重边，那么不可能是桥
             low[u]=min(low[u], dfn[v]);
         }
     }
 }

 void solve(void){
     int rootson=;
     tarjan(, );
     for(int i=; i<=n; i++){
         int v=pre[i];
         if(v==){
             rootson++;//统计根节点的子树个数，若其不小于2,即为割点
         }else if(low[i]>=dfn[v]){
             is_cut[v]=true;
         }
     }
     if(rootson>) is_cut[]=true;
     puts("割点为：");
     for(int i=; i<=n; i++){//输出割点
         if(is_cut[i]){
             printf("%d ", i);
         }
     }
     puts("\n桥为：");
     for(int i=; i<=n; i++){
         int v=pre[i];
         if(v>&&low[i]>dfn[v]){
             printf("%d %d\n", v, i);
         }
     }
     puts("");
 }

 int main(void){
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for(int i=; i<m; i++){
         int x, y;
         scanf("%d%d", &x, &y);
         mp[x].push_back(y);
         mp[y].push_back(x);
     }
     memset(dfn, -, sizeof(dfn));
     memset(low, -, sizeof(low));
     solve();
     return ;
 }

求桥的另一种写法(更快一点):

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 using namespace std;

 const int MAXN = 1e5 + ;

 struct node{
     int v, next, use;
 }edge[MAXN << ];

 bool bridge[MAXN];
 int low[MAXN], dfn[MAXN], vis[MAXN];
 int head[MAXN], pre[MAXN], ip, sol, count;

 void init(void){
     memset(head, -, sizeof(head));
     memset(vis, false, sizeof(vis));
     memset(bridge, false, sizeof(bridge));
     count = sol = ip = ;
 }

 void addedge(int u, int v){
     edge[ip].v = v;
     edge[ip].use = ;
     edge[ip].next = head[u];
     head[u] = ip++;
 }

 void tarjan(int u){
     vis[u] = ;
     dfn[u] = low[u] = count++;
     for(int i = head[u]; i != -; i = edge[i].next){
         if(!edge[i].use){
             edge[i].use = edge[i ^ ].use = ;
             int v = edge[i].v;
             if(!vis[v]){
                 pre[v] = u;
                 tarjan(v);
                 low[u] = min(low[u], low[v]);
                 if(dfn[u] < low[v]){
                     sol++;
                     bridge[v] = true;
                 }
             }else if(vis[v] == ){
                 low[u] = min(low[u], dfn[v]);
             }
         }
     }
     vis[u] = ;
 }

 int main(void){
     int n, m, q, x, y, cas = ;
     while(~scanf("%d%d", &n, &m)){
         if(!n && !m) break;
         init();
         for(int i = ; i < m; i++){
             scanf("%d%d", &x, &y);
             addedge(x, y);
             addedge(y, x);
         }
         pre[] = ;
         tarjan();
         for(int i = ; i <= n; i++){
             if(bridge[i]) cout << i << " " << pre[i] << endl;
         }
     }
     return ;
 }

以上参考博客：http://www.cnblogs.com/c1299401227/p/5402747.html